Т.1.7. Методы измерения характеристик спектра сигналов

В настоящее время известны два основных метода измерения характеристик спектра сигналов: вычисление преобразований Фурье (14.2) цифровыми средствами и получение преобразований Фурье как результата воздействия исследуемого процесса f(t) на избирательный четырехполюсник.

Функциональные схемы устройств, реализующих метод вычисления преобразований Фурье, приведены на рис. 14.2 и 14.3.

Для измерения модуля и аргумента текущего частотного спектра (рис. 14.2 и 14.3) необходим ключ (Кл), отключающий в момент отсчета текущего спектра исследуемую функцию f (t) от схемы, чтобы в соответствии с (14.2) и (14.6) осуществить обрыв f(t) в момент т и прекратить интегрирование. Фактически текущий частотный спектр определяется не для функции f(t), а для функции f ₁(t) (рис. 14.4), равной f (t) до времени τ и нулю для t >τ.

Изменяя частоту (рис. 14.3 и 14.2), измеряют модуль и аргумент текущего спектра на разных частотах. Для получения одинаковых начальных фаз напряжений U sinω t и U cosω t на всех частотах их источник синхронизируют ключом.

Для измерения спектральной функции S (ω) с использованием схем, изображенных на рис. 14.2 и 14.3, время интегрирования должно превышать длительность исследуемого процесса f (t).

Для рассмотрения второго метода измерения спектральных характеристик оценим реакцию U (t) четырехполюсника на воздействие процесса f (t), которая определяется обратным преобразованием Фурье:

(14.8)

где К (ω) = | К (ω)| е ^{j φ(ω)} — передаточная функция (частотная характеристика); |К(ω)| — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); |φ(ω)| —фазочастотная характеристика четырехполюсника (ФЧХ).

Умножим правую часть (14.2) на е^{-j ωτ}и e^{j ωτ}:

(14.9)

Интеграл в правой части (14.9) можно рассматривать как интеграл наложения (Дюамеля). В общем случае интеграл наложения записывается следующим образом:

(14.10)

где U (τ) — мгновенное значение напряжения на выходе четырехполюсника в момент т; Н(t) — переходная функция; h(t) — импульсная характеристика четырехполюсника.

Первый член (14.10) учитывает воздействие незакончившегося процесса f (t) после момента отсчета т (рис. 14.4). Если процесс прерывают в момент t = τ, как это требуется при моделировании выражения (14.2), то первый член (14.10) не нужен [ f (τ) = 0], тогда

(14.11)

Сопоставляя (14.9) и (14.11), преобразование Фурье (14.9) для текущего спектра с точностью до масштабного коэффициента а можно представить в виде (14.11) как результат воздействия исследуемого процесса f (t) на избирательный четырехполюсник с импульсной характеристикой

(14.12)

Импульсной характеристикой вида (14.12) обладают четырехполюсники, АЧХ которых описываются δ-функцией Дирака К (ω) = δ (ω — ω₀). Такой импульсной характеристикой обладает идеальный одиночный резонансный контур. У этого контура время установления огибающей τ_фр -> 0 независимо от полосы пропускания. Импульсную характеристику и переходную функцию реальных избирательных систем можно записать в символической форме:

(14.13)

где a(t) и b(t) — огибающие, времена нарастания и спада которых зависят от полосы пропускания или, точнее, от передаточной функции К (ω). Для реального одиночного резонансного контура

(14.14)

где α = R/2L — множитель затухания; R,

L — сопротивление и индуктивность контура.

Подставив (14.12) в (14.13), получим

(14.15)

Сопоставив (14.15) с (14.9), с учетом (14.3) —(14.6) найдем модуль и аргумент S (ω) _{T ид}:

Функциональная схема устройства, реализующего этот метод, представлена на рис. 14.5.

Сигнал f (t) через ключ подводят к двум идеальным контурам с импульсными характеристиками h_{ид 1} = αcosω t и h_ид2 = αsinωt. Для измерения модуля напряжения на контурах квадрируют, суммируют и извлекают квадратный корень, а для измерения аргумента выполняют обратное тригонометрическое преобразование отношения напряжения на контурах, В момент отключения f(t) мгновенные значения выходных напряжений схемы соответствуют модулю и аргументу текущего спектра для определенного ω₀ [(14.4) и (14.5)].

Для измерения спектральной функции S (ω) по этой схеме (рис. 14.5) напряжение на выходах схемы отсчитывают после окончания процесса f(t). Анализируя особенности измерений текущего спектра по этой схеме и абстрагируясь от технической реализации идеальных одиночных резонансных контуров, можно подсказать пути упрощения схемы в тех случаях, когда не нужно измерять аргумент текущего спектра. После отключения процесса f(t) от схемы переменное напряжение на идеальных контурах не меняется и для измерения модуля текущего спектра достаточно измерить переменное напряжение на контуре, т.е. достаточна схема с одним идеальным контуром.

Модуль спектральной функции закончившегося процесса можно измерить в одноканальной схеме с идеальным контуром без ключа, поскольку после окончания процесса переменное напряжение на контуре не зависит от времени (а = 0) и положения ключа, так как нет внешних воздействий.

Практически аппаратурный частотный спектр не соответствует ни полному (14.1), ни текущему (14.2) спектрам, так как реализовать бесконечные пределы интегрирования невозможно.

Практически для анализа непрерывных процессов используют весовые функции («окна»), которые ограничивают процесс, подвергаемый анализу. Используются прямоугольные «окна», «окна» Тьюки, Хэмминга, Бартлета, Парзена и др.

Анализ с использованием весовой функции («окна») выполняется согласно (14.11):

(14.18)

где а (τ — t) — весовая функция, которая как бы вырезает часть процесса f(t) (рис. 14.6).

Применение фильтров с ограниченной полосой пропускания и конечной длительностью окна приводит к определенным погрешностям, которые можно учитывать.

Уменьшение полосы пропускания анализирующего фильтра при увеличении протяженности «окна» приближает спектральную функцию взвешенного участка процесса f(t)a( τ - t) к спектральной функции процесса f(t), и при Т _ф >> Т _прц (T _прц— длительность процесса) они совпадут.

Разновидностью первого метода является метод вычисления коэффициентов Фурье (14.7) как суммы выборочных значений сигнала, взятых через промежутки времени Δ t на интервале — Т/2 <t< Т/2 и умноженных на sin и cos аргумента k ω₀τ, с последующим вычислением амплитуды и фазы спектральных составляющих.

Разновидностью второго метода является дисперсионный анализ, где роль анализирующих фильтров выполняет дисперсионная линия задержки.