2020-01-14
1025
Результирующая сила давления и точка ее приложения на плоские поверхности могут быть определены аналитическим и графоаналитическим способами.
А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Результирующая сила давления, воспринимаемая плоской поверхностью, если она подвергается одностороннему давлению жидкости (на несмоченной стороне поверхности– атмосферное давление), определяется по формуле [1, c. 44]
F = рм (ц.т)×w = rghм(ц.т) w, (1.12)
где рм (ц.т) – манометрическое давление в центре тяжести плоской поверхности;
w – смоченная площадь плоской поверхности;
hм(ц.т) – расстояние по вертикали от центра тяжести площади w до пьезометрической плоскости нулевого избыточного давления 0 – 0.
При избыточном давлении ри на свободной поверхности (рис. 1.5,а)
hм(ц.т)= 
т. (1.13)
При вакуумметрическом давлении рвак (рис. 1.5, б)
hм(ц.т)=hц.т – 
. (1.14)
Рис. 1.5. К расчету силы давления на плоскую поверхность.
|
|
|
При атмосферном давлении ри = 0 на свободной поверхности (рис. 1.5, в)
hм(ц.т) = hц.т, (1.15)
где hц.т – расстояние по вертикали от центра тяжести площади w до свободной поверхности.
Точка приложения результирующей силы давления (центр давления) для плоской поверхности АВ (см. рис. 1.5), симметричной относительно вертикальной оси, определяется по формулам [1, c. 45]
; (1.16)
, (1.17)
где 
– расстояние от плоскости 0–0 (рис. 1.5,а, б) до центра давления;
– то же (считая по наклону плоской поверхности) до центра тяжести и для вертикальной плоскости l м(ц.т) = hм (ц.т);
Ix – момент инерции смоченной площади относительно произвольной оси, параллельной центральной;
Io – момент инерции смоченной площади относительно оси, проходящей через центр тяжести 0 (см. рис. 1.5) параллельно линии уреза жидкости.
Из формулы (1.17) видно, что центр давления расположен всегда ниже центра тяжести на величину е = Jo/(
.
Для частных случаев, приведенных на рис. 1.6, значения площадей плоских поверхностей w, расстояние от верха плоской поверхности до центра тяжести l м(ц.т) и центральный момент инерции плоской поверхности Jo с учетом угла наклона поверхности a определяются следующими выражениями:
1. Прямоугольник: w = а× в; 
= а / 2; Jo = ва 3/12;
2а. Равнобедренный треугольник: w = а× в /2; l ц.т= а/ 3; Jo= ва 3/36;
2б. w = а× в /2; l ц.т = 2 а/ 3; Jo= ва 3/36;
3а. Равнобедренная трапеция:
w = (в + с)× а /2; 
; 
;
3б. w = (в + с)× а /2; 
; ;
|
|
|
4. Круг: 
; 
5. Полукруг: 
6. Квадрат: w = в 2; 
где а – высота плоской фигуры а = h/sina.
Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Для определения результирующей силы давления на плоскую поверхность необходимо построить эпюру манометрического давления. Для этого вычисляется манометрическое давление в верхней и нижней точках по оси симметрии смоченной площади, которое откладывается в масштабе перпендикулярно этой поверхности и соединяется прямой линией (см. рис. 1.5). Результирующая сила давления на плоскую поверхность равна объему эпюры манометрического давления или, если смоченная площадь – прямоугольник – величине
F = Wh, (1.18)
где W – площадь эпюры манометрического давления;
h – ширина смоченной поверхности.
Для нахождения точки приложения результирующей силы давления определяется центр тяжести эпюры, из которого проводится перпендикуляр на смоченную площадь. Измеряется расстояние от полученной точки пересечения до свободной поверхности, которое и является координатой центра давления. Разница результатов решения аналитическим и графоаналитическим способами не должна превышать более ± 5%.
Сила давления на поверхность больших затворов обычно передается на несущие горизонтальные балки или фермы, так называемые ригеля, расположение которых определяется гидравлическим расчетом из условия равной нагруженности. Решение данной задачи будет показано ниже на примере.
Пример 1.4. Определить результирующие силы давления и точки их приложения на верховой откос плотины АВ и АD на 1 пог.м длины и плоский вертикальный затвор ВС при а = 2 м, h1 = 5 м, h2 = 1,5 м, a=45о, ширине b = 3 м, а также начальное подъемное усилие Т, если толщина конструкции затвора t = 0,1 м и плотность его материала rм=1200 кг/м3, а коэффициент трения затвора о пазы f = 0,3 (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Расчетная схема.
Расчет сил давления и точек их приложения выполнить двумя способами.
Решение. А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Так как внешнее давление ро=ратм, то пьезометрическая плоскость нулевого избыточного давления совпадает со свободной поверхностью и hм(ц.т)=hц.т. Тогда результирующие силы давления:
на верховой откос в створе затвора
где hц.т= 
; w=1×b= 
;
на верховой откос за створом затвора
Результирующая сила давления на плоский вертикальный затвор равна разности сил давления, действующих со стороны верхнего F1 и нижнего F2 бьефов, и направлена в сторону большей силы (см.рис.1.7).
Координаты центров давления сил FАВ и FАD находим по формуле (1.16). Тогда
Координату центра давления силы F2 находим также по формуле (1.16):
м,
а силы F1 – по формуле (1.17):
Координаты центра давления результирующей силы Fвс определим из уравнения моментов относительно точки О (см. рис.1.7):
откуда
Для расчета подъемного усилия определим вес затвора:
G = rмgb(h1 – a) t = 1200×9,81×3×(5 – 2)×0,1 = 10595 H = 10,6 кН.
Начальное подъемное усилие Т для открытия затвора определим из уравнения проекций всех сил на вертикальную ось, т.е.
Т – G – FВС·f = 0,
откуда
Т=G+FBC× f = 10,6+275,9×0,3=93,4 кН.
Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. В данном примере графоаналитическим способом произведен расчет только величин FBC и hД. Для построения эпюры манометрического давления определим манометрическое давление в характерных точках затвора: с левой стороны в точках В и С, с правой – А и С. Тогда
рв = rga = 1000×9,81×2 = 19,62кПа;
Рслев = ρgh1 = 1000·9,81·5 = 49,05 кПа;
рА=0; РСПР=rgh2=1000×9,81×1,5=14,71 кПа.
Для достижения заданной точности результатов выбираются соответствующие масштабы. В примере для обеспечения 5% точности результатов и условия размещения чертежа на формате А4 примем масштаб линейных величин 1:50, масштаб давлений – в 1 см 9,81 кПа. Масштаб давлений удобно брать кратным величине 9,81 кПа, так как отрезки эпюры, выражающие давление в точках, по своему размеру будут кратны высоте столба жидкости над рассматриваемой точкой.
|
|
|
Эпюра манометрического давления на затвор с левой стороны представляет трапецию BCDE с верхним основанием рв и нижним основанием рслев, отложенных по нормали к плоскости затвора (рис. 1.8), а с правой стороны – треугольник АСМ с основанием рспр. Результирующая эпюра манометрического давления равна разности составляющих эпюр и представляет собой фигуру BCKNE. Так как затвор имеет прямоугольную форму, то результирующую силу давления определим по формуле (1.18):
Fвс = WBCKNE×b=(34,34×1,5+1/2(19,62+34,34)×1,5)x3=275,9кН.
Рис.1.8. Графическое определение координаты центра давления.
Результат совпадает в обоих случаях.
Теперь определим координату центра давления результирующей силы Fвс, для чего находим центр тяжести результирующей эпюры BCKNE, которая представляет собой пятиугольник. Для рассматриваемого случая можно рекомендовать следующий графический прием (см. рис.1.8). Разбиваем эпюру BCKNE сначала на трапецию ABEN и на прямоугольник ACKN, находим их центры тяжести (точки С1 и С2) и соединяем прямой С1С2.
Центр тяжести трапеции АВЕN находится следующим образом. Продолжаем параллельные стороны трапеции в противоположные стороны, откладывая от точки А отрезок ВЕ и от точки Е – отрезок АN. Полученные точки 1 и 2 соединяем прямой. Далее параллельные стороны трапеции делим пополам и полученные точки 3 и 4 также соединяем прямой. Пересечение прямых 1–2 и 3– 4 дает центр тяжести С1 трапеции АВЕN. Затем разбиваем эпюру ВСКNE на трапецию KNES и прямоугольник BCSE и находим центры тяжести (точки С3 и С4), соединив их прямой С3С4. Пересечение прямых С1С2 и С3С4 дает центр тяжести фигуры ВСКNE (точка С). Из точки С опускаем перпендикуляр на плоскость затвора и измеряем расстояние по вертикали от центра давления (точка z) до свободной поверхности жидкости. Графически hД=3,62 м. Ошибка между найденными аналитическим и графическим способами составляет 0,6%, что удовлетворяет требованиям.
|
|
|
Ответ: FАВ = 27,7 кН; l Д1 = 1,9 м; FAD = 173,4 кН; l Д2 = 4,7 м;
FВСан = FВСгр =275,9 кН; hДан = 3,6 м;;hДгр = 3,62 м; Т = 93,4 кН.
Пример 1.5. Глубина воды перед вертикальным плоским затвором h=6,0 м (рис.1.9).
Рис.1.9. Расчетная схема.
Требуется расположить четыре горизонтальные балки (ригеля) так, чтобы на каждый ригель приходилась одинаковая сила давления воды Fi, которая передается на ригели через обшивку плоского затвора. Расчет произвести на 5 м ширины затвора. Задачу решить аналитическим, графоаналитическим и графическим способами.
Решение. А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Плоские металлические затворы гидротехнических сооружений представляют собой каркас из системы балок с обшивкой. Положение горизонтальных балок (ригелей) определяется условием равной нагруженности их. Поскольку речь идет о прямоугольном плоском затворе, который является плоской поверхностью, достаточно разделить эпюру гидростатического давления на равновеликие части линиями, нормальными к плоскости затвора. Ригели располагают на уровне центров тяжести каждой части эпюры (см. рис. 1.9).
При обозначениях на рис. 1.9 сила давления на затвор по формуле (1.12) определится как
.
Следовательно, при n-м количестве ригелей на каждую часть затвора приходится сила
.
В то же время для первой сверху части затвора по формуле (1.12) имеем:
для первой и второй частей затвора вместе –
;
для первой, второй и третьей частей затвора вместе –
;
и т. д. для 
верхних частей –
.
Тогда для данного примера получим следующие соотношения:
, откуда
6 
3,00 м;
, откуда
6 
4,24 м;
, откуда
6 
5,20 м;
, откуда
6 
6,00 м, т.е.
h4 = h = 6,00 м.
Расстояние от свободной поверхности жидкости до центра давления силы Di каждой части затвора (расстояние до каждого ригеля) находится по зависимостям (1.16) или (1.17).
Для первого ригеля
м;
для второго ригеля
по аналогии для ригеля с порядковым номером
тогда для третьего ригеля
для четвертого ригеля
Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й с п о с о б. Этот способ решения задачи основан на аналитическом расчете и графическом построении и выполняется по следующей методике.
Со стороны воды строим эпюру гидростатического давления, представляющую собой прямоугольный треугольник с основанием р в =rgh=1000×9,8×6,0 = 58,86 кПа (рис.1.10), с другой стороны – интегральную кривую изменения силы гидростатического давления по глубине.
Вычисляем ординаты интегральной кривой, задаваясь значениями глубин в пределах h = 0–6 м при ширине затвора в = 5 м:
 , м
| 0 | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 |
| F, кН | 0 | 24,52 | 98,10 | 220,72 | 392,40 | 613,12 | 882,90 |
Построив в масштабе по этим данным кривую (см. рис.1.10), делим отрезок ВС, соответствующий F = 882,90 кН, на четыре равные части:
Проведенные из точек деления до пересечения с интегральной кривой силы гидростатического давления позволяют найти величины: h1=3,00м; h2=4,24 м; h3=5,20 м; h4=h=6,00 и разделить эпюру гидростатического давления на четыре равновеликие части.
Расстояние от свободной поверхности до каждого ригеля находится по зависимостям (1.16) или (1.17), а также по зависимости, полученной выше при решении данной задачи аналитическим способом.
Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б. Аналогично, как при графоаналитическом способе, со стороны воды строится эпюра гидростатического давления, представляющая собой прямоугольный треугольник с основанием рв=rgh=1000×9,81×6=58,86 кПа (рис.1.11), с другой стороны, из центра затвора О проводится полуокружность радиусом, равным половине высоты затвора, т.е. R = h/2 = 6,0/2 = 3,0 м.
Рис. 1.11. К определению места положения
ригелей графическим способом.
Затем затвор по высоте делится на n равных частей по числу ригелей, т.е. n=4, и из этих точек проводятся горизонтальные прямые до пересечения с полуокружностью (точки в, с, d). Из вершины эпюры давления (точка а) проводятся дуги радиусами Ra в,Ra с,Ra d до стенки затвора. Полученные таким образом точки m, n, f разделяют по высоте эпюру гидростатического давления на равновеликие части, которые представляют собой прямоугольный треугольник и трапеции. По методике, описанной в примере 1.4, находятся центры тяжестей D¢1, D¢2, D¢3, D¢4 этих плоских фигур. Проводя нормали из этих точек к смоченной поверхности затвора, получим координаты D1, D2, D3, D4 положения ригелей и их величину: 
= 2,0 м; 
= 3,7 м; 
= 4,7 м; 
= 5,6 м.
Ответ: 
= 2,0 м; 
= 3,7 м; = 4,7 м; = 5,6 м.
Более полно решение задач по этой теме приводится в литературе [3, c.27–31; 4, с.12–26].
