При постоянном и переменном напорах

7 8 9 10 11 12 13

Средняя скорость V и расход Q при истечении жидкости из отверстий и насадков определяется по формулам:

; (2.24)

, (2.25)

где – коэффициент расхода,

(2.26)

– коэффициент сжатия струи,

; (2.27)

w – площадь отверстия или насадка;

w_с – площадь струи в сжатом сечении;

j = (a+åx)^-1/2– коэффициент скорости;

åx – сумма коэффициентов сопротивлений в отверстии, насадке или короткой трубе;

Н₀= Н + a₀V²₀/(2g) + p_и/(rg) – полный напор;

Н – геометрический напор;

V₀= Q/W – скорость подхода жидкости к отверстию;

W – площадь сечения потока перед отверстием;

р_и= р₁–р₂ – разность давлений;

р_1,р₂ – абсолютное давление на свободной поверхности жидкости соответственно в емкости, в которой имеется отверстие, и в пространстве, куда вытекает жидкость.

При истечении из отверстий сжатие струи может быть совершенным, несовершенным, полным и неполным. Совершенное сжатие будет в том случае, если отверстие удалено от боковых стенок и днища сосуда не менее трех его диаметров или линейных величин периметра. В противном случае сжатие будет несовершенным. Если часть периметра отверстия совпадает с боковой стенкой или днищем сосуда, то сжатие струи называется неполным. Для несовершенного сжатия коэффициент расхода отверстия несколько больше коэффициента расхода для совершенного сжатия. Определяется он по эмпирической формуле [1, c.209]:

, (2.28)

где W – площадь поперечного сечения стенки с отверстием.

При неполном сжатии струи коэффициент расхода отверстия определяется по эмпирической формуле [1, c.209]:

(2.29)

где χ, χ_н – периметр соответственно всего отверстия и той его части, на которой нет сжатия;

С₀ – коэффициент, учитывающий форму отверстия: для круглого отверстия С₀ = 0,13, для прямоугольного – С₀ = 0,15 [1,c.209].

Коэффициенты расхода, скорости, сжатия и сопротивления для совершенного сжатия для отверстий и насадков, истечение из которых происходит при достаточно больших числах Рейнольдса (Re > 10⁵), приводятся в справочной литературе [5, c.112–113; 6.с.55–56], а также в табл.7 приложения.

Время t изменения напора от Н₁ до Н₂ в случае призматического резервуара и при наличии постоянного притока Q_a определяется по формуле

, (2.30)

где Н_а – напор, при котором расход, проходящий через отверстие или насадок, равен притоку, т.е. Н₂ = Q_а²/m²w²2g;

W – площадь сечения резервуара.

При отсутствии притока (Q_a = 0 и, следовательно, Н_а = 0) формула (2.30) примет следующий вид:

. (2.31)

Время t изменения напора от Н₁ до Н₂ при перетекании жидкости в призматических резервуарах определяется по формуле [1, c.238]:

, (2.32)

где W₁, W₂ – площади поперечного сечения резервуаров.

Если истечение или перетекание жидкости происходит через короткие трубопроводы, то в расчетные формулы (2.30–2.32) подставляется коэффициент расхода системы, рассчитываемый по зависимости

m_сист = (a+åx)^-1/2(2.33)

где åx– сумма коэффициентов сопротивлений короткого трубопровода, через который происходит истечение, рассчитываемая по формуле

åx = åx_дл + åx_мест. (2.34)

Общую методику решения задач по данной теме рассмотрим на примерах.

Пример 2.4. Струя жидкости, вытекаемая из малого незатопленного отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре, достигает горизонтального пола на расстоянии х = 1,2 м от сжатого сечения отверстия (рис.2.5).

Высота расположения отверстия над полом у =1,0 м, диаметр отверстия d = 50 мм. Определить величину расхода вытекаемой струи.

Рис. 2.5. Расчетная схема.

Решение. Средняя скорость истечения струи из отверстия определяется по формуле (2.24). Пренебрегая сопротивлением воздуха при движении струи, запишем уравнения движения жидкости по горизонтальной и вертикальной осям:

; у = gt²/2.

Решая эти уравнения относительно времени t, получим

х² = 4j²уН.

Приняв коэффициент скорости для малого отверстия в тонкой стенке j = 0,97, из последнего уравнения определим величину напора:

Н = х²/(4j²у) = 1,2²/(4×0,97²×1,0) = 0,315 м.

Приняв коэффициент расхода для малого отверстия в тонкой стенке m=0,62, определим расход вытекаемой струи:

Ответ: Q=3,025 л/с.

Пример 2.5. В тонкой стенке, разделяющей призматический резервуар на два отсека, имеется отверстие диаметром d₁ = 20 мм (рис.2.6).

Рис. 2.6. Расчетная схема.

К отверстию в дне второго отсека присоединена короткая труба диаметром d₂ = 16 мм и длиной l = 64 мм.

1. Определить расход воды Q, вытекаемой из трубы, если общий напор Н = 3,5 м, а уровни в отсеках резервуара постоянны.

2. При полученных напорах Н₁ и Н₂ определить время выравнивания уровней воды в отсеках резервуара (на схеме показан пунктиром), если короткая труба будет закрыта, а площади сечения отсеков соответственно равны W₁ = 3,0 м², W₂ = 2,0 м².

Решение. 1. Так как уровни в отсеках резервуара постоянны, то движение жидкости будет установившимся и расходы истечения из отверстия и насадка будут равны, т.е.

или

Кроме того, из условия задачи следует, что Н₁ + Н₂ = Н,

откуда

Н₂ = Н – Н₁.

Для отверстия в тонкой стенке коэффициент расхода принимается m₀=0,62. Соотношение l /d₂ = 64/16 = 4,0, следовательно, короткая труба работает как внешний круглоцилиндрический насадок и коэффициент расхода m_н = 0,82 (табл.7 приложения).

Решаем вышеприведенное равенство относительно Н₁, предварительно подставив значение напора Н₂.

Тогда

откуда

и окончательно напор

а затем Н₂ = Н – Н₁ = 3,5 – 1,46 = 2,04 м.

Тогда искомый расход составит:

или

что указывает на достоверность расчета.

2. Время перетекания воды из одного отсека резервуара в другой определяется по уравнению (2.32), в котором Н^¢₁ = 1,46 м, а Н^¢₂ = 0, так как уровни выравниваются. Перетекание жидкости происходит через отверстие, следовательно, коэффициент расхода m = 0,62.

Тогда

Глубину воды в резервуаре определим на основании равенства объемов вытекаемой воды из первого отсека и поступаемой во второй отсек, т.е.

W_выт = W₁Dh = W_пост = W₂(Н₁ – Dh),

где Dh – глубина понижения уровня воды в первом отсеке (см. рис.2.6).

Решим последнее уравнение относительно глубины понижения воды:

м.

Тогда глубина воды в резервуаре составит:

h = H – (l + Dh) = 3,5 – (0,064 + 0,584) = 2,852 м.

Ответ: 1. Н₁ = 1,46 м; Н₂ = 2,04 м; Q = 1,042 л/с;

2. t = 56,05 мин; h = 2,852 м.

Пример 2.6. Два призматических резервуара А и В (рис.2.7) с площадями поперечных сечений W_А = 4,5 м² и W_В = 1,5 м² соединены новым стальным трубопроводом длиной l = 42 м и диаметром d = 40 мм, на котором установлена задвижка со степенью открытия а/d = 0,50.

Определить время, в течение которого объем воды W = 9,0 м³ перетечет из резервуара А в резервуар В. Первоначальные отметки уровней воды в резервуарах составляют: Н_А = 12,5 м; Н_В = 1,5 м; оси трубы –Н_с=3,5 м. Считать, что движение воды в трубопроводе происходит в квадратичной области сопротивления.

Рис. 2.7. Расчетная схема к определению времени перетекания

жидкости в призматических резервуарах.

Решение. Из анализа процесса перетекания жидкости из резервуара А в резервуар В следует, что время t этого процесса будет состоять из двух периодов:

а) истечение при переменном напоре в атмосферу до центра тяжести сечения выходного отверстия трубы, определяемое по формуле (2.31);

б) истечение при переменном напоре под переменный уровень, определяемое по формуле (2.32).

Так как движение жидкости происходит по трубопроводу, то в расчетных зависимостях (2.31) и (2.32) принимается коэффициент расхода системы, определяемый по зависимости (2.33), т.е.

где x_вх, x_з – коэффициенты местных гидравлических сопротивлений. Принимаются по табл. 4 приложения и равны: x_вх = 0,5; x_з = 5,30;

l – коэффициент Дарси, определяемый по формуле (2.18), так как согласно условию задачи движение жидкости происходит в квадратичной зоне сопротивления:

D – абсолютная величина шероховатости стенок трубопровода (табл. 5 приложения) и для новых стальных труб принята D = 0,06 мм.

Теперь определяются расчетные напоры из условия равенства объемов вытекаемого из резервуара А и поступающего в резервуар В. Для расчетной зависимости (2.31) напоры равны:

Н₁ = Н_А – Н₀ = 12,5 – 3,5 = 9,0 м;

Н₂ = Н₁ – DН₁ = 9,0 – 0,67 = 8,33 м,

где W₁ = DН₁W_A = (Н₀ – Н_в)W_в, откуда

м.

Тогда время повышения уровня воды до оси трубы

Для расчетной зависимости (2.32) напоры будут равны:

Н^¢₁ = Н₂ = Н₁ – DН₁ = 9,00 – 0,67 = 8,33 м;

Н^¢₂ = Н₂ – (DН₂ + DН₃) = 8,33 – (1,33 + 4,00) = 3,00 м,

где DН₂, DН₃ – соответственно понижение уровня воды в резервуаре А и повышение в резервуаре В. Определяются на основании равенства объемов вытекаемой воды из резервуара А и поступаемой в резервуар В (см. рис.2.7), т.е.

DН₂ = W₂/W_A = (W – W₁)/W_A = [W – (H₀ – H_в)W_В]/W_A =

= [9,00 – (3,5 – 1,5)1,5]/4,5 = 1,33 м;

DН₃=W₂/W_В=(W–W₁)/W_В = [W – (H₀ – H_в)W_В]/W_В =

= [9,00 – (3,5 – 1,5)1,5]/1,5 = 4,00 м.

Тогда время перетекания оставшегося объема W₂ воды из резервуара А в резервуар В составит: