2020-01-14
393
Непустое множество 
называется выпуклым, если 
при всех 
, 
.
Функция 
, определенная на выпуклом множестве , называется выпуклой, если
(11)
при всех , 
. Если при всех , 
, 
неравенство (11) выполняется как строгое, то называется строго выпуклой.
Функция , определенная на выпуклом множестве 
, называется сильно выпуклой с константой 
, если
при всех , .
Ниже приведены необходимые и достаточные условия выпуклости и сильной выпуклости дифференцируемых функций. Для краткости формулировок выпуклые функции рассматриваются как сильно выпуклые с параметром 
.
Теорема 9 (Первый дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть функция дифференцируема на выпуклом множестве . Тогда для того, чтобы была сильно выпуклой с параметром 
на 
, необходимо и достаточно выполнения условия:
, при всех 
.
Теорема 10 (Второй дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть функция непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве . Тогда для того, чтобы была сильно выпуклой с параметром на 
, необходимо и достаточно выполнения условия:
, при всех 
.
Теорема 11 (Третий дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть дважды непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве , причем внутренность множества не пуста (
). Тогда для того, чтобы 
была сильно выпуклой с параметром на , необходимо и достаточно выполнения условия:
для всех 
.
37. Показать, что множество выпукло тогда и только тогда, когда 
при всех 
. Здесь 
- алгебраическая сумма множеств 
(
).
38. Являются ли выпуклыми множествами следующие множества на плоскости:
а) круг 
с центром в начале координат;
в) часть круга 
, получающаяся из него путём вырезания сектора, лежащего в правом квадранте.
39. Верно ли, что объединение и пересечение двух выпуклых множеств выпукло?
40. Пусть 
- выпуклые множества, 
- произвольные числа. Доказать, что множество 
выпукло.
41. Перечислить все выпуклые множества, принадлежащие числовой прямой 
.
42. Показать, что следующие множества являются выпуклыми:
а) 
- прямая, проходящая через точку 
в направлении 
;
в) 
- луч, выходящий из точки 
в направлении ;
с) 
- гиперплоскость с нормалью 
(
) 
;
d) 
,
- порождаемые гиперплоскостью с нормалью (
) полупространства. Здесь 
.
43. Показать, что множество 
, где 
- некоторая матрица размера (
) со строками 
, 
, является выпуклым.
44. Показать, что множество 
является выпуклым. Здесь 
, - заданные числа.
Точка 
выпуклого множества 
называется крайней, если её нельзя представить в виде 
45. Определить все крайние точки множества , заданного в задаче 44.
46. Определить все крайние точки множества 
, где 
.
47. Указать все крайние точки множества 
, определённого в задаче 42.
В задачах 48-53 множество предполагается выпуклым.
48. Доказать, что функция 
- выпукла, если 
выпукла и 
.
49. Доказать, что функция 
- выпукла, если выпукла, 
.
50. Проверить, что функция 
- выпукла на 
.
51. Пусть 
- выпуклые функции на множестве 
. Доказать, что функция 
- выпукла на .
52. Пусть - выпуклые функции на множестве , 
, и хотя бы при одном 
функция 
строго (сильно) выпукла, 
. Доказать, что 
- строго (сильно) выпукла на .
53. Доказать, что функция 
- выпукла на , если функции , 
, выпуклы на .
54. Пусть 
- выпуклая функция на выпуклом множестве . Показать, что 
при всех 
, для которых 
.
55. Доказать, что функция 
сильно выпукла на 
, 
.
56. Доказать, что строго вогнутая функция может достигать своего минимального значения только в крайних точках выпуклого множества , на котором она определена.
57. Найти максимальное значение функции 
при выполнении ограничений:
58. Пусть функция 
- непрерывная, монотонно неубывающая функция на отрезке 
. Показать, что функция 
является выпуклой на отрезке .
59. Проверить, что функция 
выпукла на .
Задача
(12)
называется выпуклой, если - выпуклое множество, а 
выпуклая функция на .
60. Доказать, что в выпуклой задаче любое её локальное решение является также и глобальным.
61. Пусть функция выпукла на 
и дифференцируема в точке 
. Доказать, что если 
, то 
- точка минимума функции на .
62. Известно, что выпуклая задача (12) имеет решение. Доказать, что тогда множество её решений выпукло, если при этом строго выпукла на , то решение задачи (12) единственно.
