Непустое множество называется выпуклым, если при всех , .
Функция , определенная на выпуклом множестве , называется выпуклой, если
(11)
при всех , . Если при всех , , неравенство (11) выполняется как строгое, то называется строго выпуклой.
Функция , определенная на выпуклом множестве , называется сильно выпуклой с константой , если
при всех , .
Ниже приведены необходимые и достаточные условия выпуклости и сильной выпуклости дифференцируемых функций. Для краткости формулировок выпуклые функции рассматриваются как сильно выпуклые с параметром .
Теорема 9 (Первый дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть функция дифференцируема на выпуклом множестве . Тогда для того, чтобы была сильно выпуклой с параметром на , необходимо и достаточно выполнения условия:
, при всех .
Теорема 10 (Второй дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть функция непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве . Тогда для того, чтобы была сильно выпуклой с параметром на , необходимо и достаточно выполнения условия:
|
|
, при всех .
Теорема 11 (Третий дифференциальный критерий сильной выпуклости)
Пусть дважды непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве , причем внутренность множества не пуста ( ). Тогда для того, чтобы была сильно выпуклой с параметром на , необходимо и достаточно выполнения условия:
для всех .
37. Показать, что множество выпукло тогда и только тогда, когда при всех . Здесь - алгебраическая сумма множеств ().
38. Являются ли выпуклыми множествами следующие множества на плоскости:
а) круг с центром в начале координат;
в) часть круга , получающаяся из него путём вырезания сектора, лежащего в правом квадранте.
39. Верно ли, что объединение и пересечение двух выпуклых множеств выпукло?
40. Пусть - выпуклые множества, - произвольные числа. Доказать, что множество выпукло.
41. Перечислить все выпуклые множества, принадлежащие числовой прямой .
42. Показать, что следующие множества являются выпуклыми:
а) - прямая, проходящая через точку в направлении ;
в) - луч, выходящий из точки в направлении ;
с) - гиперплоскость с нормалью () ;
d) ,
- порождаемые гиперплоскостью с нормалью () полупространства. Здесь .
43. Показать, что множество , где - некоторая матрица размера () со строками , , является выпуклым.
44. Показать, что множество является выпуклым. Здесь , - заданные числа.
Точка выпуклого множества называется крайней, если её нельзя представить в виде
45. Определить все крайние точки множества , заданного в задаче 44.
|
|
46. Определить все крайние точки множества , где .
47. Указать все крайние точки множества , определённого в задаче 42.
В задачах 48-53 множество предполагается выпуклым.
48. Доказать, что функция - выпукла, если выпукла и .
49. Доказать, что функция - выпукла, если выпукла, .
50. Проверить, что функция - выпукла на .
51. Пусть - выпуклые функции на множестве . Доказать, что функция - выпукла на .
52. Пусть - выпуклые функции на множестве , , и хотя бы при одном функция строго (сильно) выпукла, . Доказать, что - строго (сильно) выпукла на .
53. Доказать, что функция - выпукла на , если функции , , выпуклы на .
54. Пусть - выпуклая функция на выпуклом множестве . Показать, что при всех , для которых .
55. Доказать, что функция сильно выпукла на , .
56. Доказать, что строго вогнутая функция может достигать своего минимального значения только в крайних точках выпуклого множества , на котором она определена.
57. Найти максимальное значение функции при выполнении ограничений:
58. Пусть функция - непрерывная, монотонно неубывающая функция на отрезке . Показать, что функция является выпуклой на отрезке .
59. Проверить, что функция выпукла на .
Задача
(12)
называется выпуклой, если - выпуклое множество, а выпуклая функция на .
60. Доказать, что в выпуклой задаче любое её локальное решение является также и глобальным.
61. Пусть функция выпукла на и дифференцируема в точке . Доказать, что если , то - точка минимума функции на .
62. Известно, что выпуклая задача (12) имеет решение. Доказать, что тогда множество её решений выпукло, если при этом строго выпукла на , то решение задачи (12) единственно.