Проблема моделирования цен на нефть

 

Цены на сырьевые товары, в частности на нефть, чрезвычайно волатильны. Для нефтедобывающих компаний цена на нефть, как правило, - основной источник неопределенности, поэтому ее прогнозирование или адекватное описание динамики при различных сценариях является чрезвычайно важной задачей.

В общем виде цена на нефть является случайной величиной, динамика которой определяется балансом спроса и предложения. Как уже было отмечено, из-за определяющего влияния биржевых спекулянтов при моделировании динамики цен на нефть нет смысла использовать фундаментальные факторы вроде текущего баланса спроса и предложения, измеряемого на практике динамикой промышленных запасов. Фактически при моделировании цен на нефть в непрерывном времени используются произвольные экзогенные стохастические процессы общего вида

 

,

 

где - стандартный винеровский процесс. В частности, среди достаточно популярных процессов можно выделить геометрическое броуновское движение. Эта популярность, однако, связана прежде всего с возможностью получить аналитические решения для дифференциальных уравнений второго порядка, характерных для условных требований. В действительности предположение о логнормальности распределения может быть приближенно справедливо для акций или инвестиционных товаров типа золота, но неверно для нефти, алюминия, меди и т.д.

Отличительным свойством этих сырьевых товаров является так называемое удобство владения (см. работу Бреннана [13]). Оно определяется возможностью немедленно продать товар или подождать более высоких цен, неся при этом издержки на хранение товара. Удобство владения является величиной, которую можно рассчитать, используя котировки фьючерсных контрактов с разными сроками исполнения. Цена фьючерса на нефть определяется из общего выражения

 

,

 

где - безрисковая процентная ставка, - время исполнения контракта. Если удобство от владения одним баррелем нефти пропорционально текущей цене, , то для логнормального распределения цены получим известную зависимость между фьючерсными и текущими ценами:

 

 

Обвал цен в 1998 году привел к тому, что, когда цена смеси Brent упала ниже 15 долл. за баррель, дальние фьючерсы стали стоить дороже ближних (контанго). С 1999 года, когда цены превысили уровень 17 долл. за баррель, наблюдается обратная картина (бэквардация). Фактически такие явления наблюдались с момента начала свободного ценообразования на нефтяном рынке, т.е. примерно с середины 1979 года. Это позволяет предположить существование некой «средней» номинальной цены за нефть где-то на уровне 15 - 17 долл. за баррель. То, что дальние фьючерсы стремятся к этой цене, свидетельствует о том, что у рынка «подсознательно» присутствует стремление вернуться к своему среднему значению . Эти аргументы послужили основанием моделировать цены на нефть с помощью процессов «возвращения к среднему» (mean reverting). Простейшим примером такого процесса является арифметический процесс Орнштейна-Уленбека:

 

Условия стационарности и ограниченности определяют диапазон . Можно показать (см. статью Гордона Сика [14]), что для этого стохастического процесса систематический риск приводит к тому, что дальние фьючерсы должны стоять ниже средней цены. Это отчасти подтверждается историческими данными. Так, за период с 1986 года по 2000 цена смеси Brent колебалась около долл., а находились, по крайней мере в течение двух последних лет, в диапазоне 15-17 долларов за баррель. Кроме того, большую часть рассматриваемого периода на рынке наблюдалась бэквардация (см. также работу Литценбергера и Рабиновича.

Существуют модели, предполагающие, что текущие цены и удобство владения являются случайными процессами, имеющими совместное распределение (см. например работу Гиббсона и Шварца [16], а также Шварца [17]). Эти модели позволяют более точно описывать динамику фьючерсов с различными сроками исполнения, однако не добавляют ничего нового в моделировании динамики текущих цен.

Если рассмотреть период с 1970 года, то видно, что цены на нефть периодически (примерно раз в 6-7 лет) испытывают резкие шоки (см. рис. 1.2). В связи с этим получили определенное распространение модели (например, работа Диаса и Рош [18]), в которых цены на нефть, помимо случайных броуновских возмущений, могут испытывать пуассоновские шоки, то есть

 

 

где с вероятностью и с вероятностью и . Из исторических данных следует, что можно взять (один скачок происходил в 6-7 лет). Величина скачка носит случайный характер, ее плотность распределения может быть представлена в виде комбинации двух обрезанных нормальных распределений.

Рис. 1.4. Плотность распределения скачка

 

Необходимость добавления пуассоновских шоков обусловлена переходом от дискретных к непрерывным моделям. При уменьшении временного интервала величина броуновских возмущений стремится к нулю. В то же время величина пуассоновских шоков неизменна, хотя уменьшается вероятность их появления. В действительности цена на нефть может измениться на 5-7% в течение нескольких минут одного торгового дня, как это бывало при появлении неожиданной информации, касающейся ОПЕК. Нам представляется, что из всех рассмотренных процессов именно последний позволяет наиболее адекватно моделировать динамику цен на нефть.

Методы оценки сравнительной инвестиционной привлекательности компаний

Задача оценки инвестиционной привлекательности компаний возникает при формировании, пересмотре и оценке эффективности портфеля акций. Основное предположение портфельной теории заключается в том, что не склонный к риску инвестор выбирает портфель с минимальным риском при заданной ожидаемой доходности. Рискованность портфеля можно определять различным образом. Фундаментальной в портфельной теории является работа Марковица [19]. На ее основе Шарп [20] и Линтнер [21] создали теорию ценообразования капитальных активов (CAPM), в которой в качестве меры риска используется дисперсия (стандартное отклонение) доходности акций. CAPM оказала и продолжает оказывать огромное влияние на развитие теории финансов. С точки зрения инвестора, одним из основных результатов CAPM является то, что для множества оптимальных портфелей большей доходности можно добиться лишь за счет операций с более рискованными акциями.

На практике параметры распределения доходности акций и корреляция с рыночным портфелем (или коэффициент «бета») рассчитываются по историческим данным. Получающиеся значения зависят от выбранного временного ряда, и поэтому сами сильно зависят от времени. Ясно, что в однородной группе компаний из одной отрасли ошибка в оценке дисперсии может быть велика, а сама оценка – весьма волатильна. Кроме того, описывать принятие решений только двумя первыми моментам распределения доходности можно лишь при выполнении специфических условий (например, при квадратической функции полезности инвестора или эллиптическом распределении доходности). В результате использование CAPM для нахождения недооцененных акций компаний из одной отрасли не приносит желаемых результатов.

Многофакторным обобщением CAPM является арбитражная теория ценообразования (APT). Эта теория исходит из меньшего числа начальных предположений, чем CAPM, однако ей присущи фактически те же недостатки. Кроме того, остается открытым вопрос определения ценообразующих факторов, что существенно затрудняет применение APT на практике.

При оценке сравнительной инвестиционной привлекательности компаний важное значение имеет такой показатель, как отношение рыночной капитализации к фундаментальной стоимости компании. Расчет фундаментальной стоимости для каждой компании из достаточно большой группы становится довольно трудоемкой задачей, на практике не всегда осуществимой из-за неполноты информации. Поэтому часто используют более простые отношения, в которых фундаментальная стоимость заменяется каким-то одним показателем, например чистой прибылью, объемом продаж и т.д. Поскольку реально стоимость компании определяется целым рядом таких показателей, каждое отношение в отдельности дает одностороннюю и неадекватную оценку инвестиционной привлекательности компании. В этой связи актуальной является задача построения интегрированного показателя, учитывающего несколько фундаментальных факторов одновременно. В третьем разделе описано применение метода DEA для нахождения недооцененных акций нефтяных компаний, а также для определения потенциальной рыночной капитализации перед первичным размещением акций.