Вычисление интегралов

 

Рассмотрим функцию , заданную на интервале , требуется приближенно вычислить интеграл

 

                                             (2.1)

 

Этот интеграл может быть несобственным, но абсолютно сходящимся.

Выберем произвольную плотность распределения , определённую на интервале . Наряду со случайной величиной , определённой в интервале  с плотностью , необходимо определить случайную величину

 

 

Согласно соотношению  получим

 

 

Рассмотрим теперь  одинаковых независимых случайных величин  и применим к их сумме центральную предельную теорему. Формула (1.7) в этом случае запишется так:

 

 

Последнее соотношение означает, что если выбирать  значений , то при достаточно большом

 

                                 (2.2)

 

Оно показывает также, что с очень большой вероятностью погрешность приближения (2.2) не превосходит .

Для расчёта интеграла (2.1) можно использовать любую случайную величину . Определённую в интервале  с плотностью . В любом случае . Однако дисперсия , а с ней и оценка погрешности формулы (2.2) зависят от того, какая величина используется, так как

 

                 (2.3)

 

Докажем, что это выражение будет минимальным тогда, когда  пропорциональна .

Для этого воспользуемся неравенством

, в которым положим , . Получим неравенство

 

            (2.4)

 

Из (2.3), (2.4) следует, что

 

                                      (2.5)

 

Остается доказать, что нижняя граница дисперсии (2.5) реализуется при выборе плотности . Так как

 

.

 

Следовательно,

 

,

 

и правая часть (2.3) обращается в правую часть (2.5)

Использовать плотность  для расчёта практически невозможно, так как для этого нужно знать значение интеграла . А его вычисление представляет собой задачу, равноценную задаче о вычислении интеграла (2.1). Поэтому ограничиваются следующей рекомендацией: желательно, чтобы плотность  была пропорциональна .

Конечно, выбирать очень сложные  нельзя, так как процедуры разыгрывания  станет очень трудоёмкой. Оценку (2.2) с плотностью , сходной , называют существенной выборкой.

Также если стоит задача вычислить интеграл (2.1), преобразуем его к виду

 

                                 (2.6)

 

Если теперь обозначить            (2.7)

 

То интеграл принимает вид

 

                                  (2.8)

 

и может быть вычислен при помощи метода статистических испытаний.

В частном случае, если  и конечны или их можно считать конечными приближенно, в качестве  целесообразно выбрать равномерный закон распределения.

Как известно, плотность вероятности равномерного закона распределения в интервале  равна:

 

                                                  (2.9)

Подставим в интеграл (2.6) значение  из формулы (2.9) и получим:

 

                                 (2.10)

 

и рассмотрим процедуру вычисления:

из множества равномерно распределённых случайных чисел выбирается . Для каждого значения  вычисляется , затем вычисляется среднее значение

 

                                                                         (2.11)

 

функции  на интервале

Таким образом, величина интеграла (2.10) может быть представлена в виде следующей формулы

 

                                                                    (2.12)

 

Рассмотренный частный случай находит широкое применение интегралов методом статистического моделирования в силу того, что границы области определения могут быть легко приведены к пределам интегрирования