Реология горных пород

Фундаментом реологии являются несколько аксиом. Содержащиеся віних утверждения получены экспериментально.

При изучении реологии мы будем использовать не сами тензоры напряжений и деформаций, а их инварианты, которые являются суммарной характеристикой изменения объёма и формы деформируемых тел.

Представим, что в нашем распоряжении имеются три шара, сделанные из трех различных материалов: стальной, пластилиновый и водяной. С этими тремя шарами мы проделаем несколько мысленных опытов, ставя перед собой основную задачу: определить вид механического воздействия на шары, способный распознать материалы, из которых сделаны шары.

Сначала рассмотрим падение этих шаров с некоторой высоты на поверхность стола. Еще до проведения такого опыта мы уверенно скажем, что различие в материалах, из которых сделаны шары, никак себя не проявит при падении шаров. Лишь при соприкосновении шаров с поверхностью стола мы обнаружим, что шары сделаны из разных материалов: стальной шар отскочит от поверхности стола, пластилиновый - прилипнет к столу, капля воды растечется по поверхности стола. Соприкосновение шаров с поверхностью стола обнаруживает различное деформирование шаров.

Если внимательно осмотрим шар из пластилина, то легко обнаружим на его поверхности плоскую площадку - результат смятия пластилина при контакте с поверхностью стола. В этом случае говорят, что в пластилиновом шаре возникла остаточная пластическая деформация. На поверхности стального шара такой плоской поверхности не видно, но есть все же основания предполагать её наличие в момент контакта шара с поверхностью стола: после окончания контакта шара со столом сферическая форма стального шара была восстановлена и это явилось причиной отскока шара от поверхности стола. Стальной шар - носитель восстанавливающейся упругой деформации. Поведение водного шара также резко отличается от поведения стального и пластилинового шаров: течение водяного шара по столу означает наличие у него необратимой вязкой деформации.

Подведём промежуточный итог: действие напряжений, возникающих в шарах при соприкосновении с поверхностью стола, вызывает в них появление деформаций различной природы: в стальном шаре возникает упругая деформация, в пластилиновом шаре —п ластическая деформация, а в водяном шаре возникает течение, или, по другому, вязкая деформация.

Обнаружив значительное отличие в поведении трех шаров при проведении простого опыта, мы все же не приблизились к пониманию главного: действие какого напряжения способно отличить материал одного шара от материала другого?

Рассмотрим теперь поведение трех шаров при гидростатическом давлении. Эксперименты показывают, что результатом действия небольшого гидростатического давления s_ср будет увеличение плотности и уменьшение объёма V шаров в соответствии с уравнением s_ср = K. e_ср на величину D V = 3s_ср V / K, где K - коэффициент объёмного деформирования (модуль объёмного сжатия). Форма шаров останется неизменной. При снятии давления прежние объём и плотность полностью восстанавливаются. Этот экспериментальный факт лег в основу первой аксиомы реологии.

Аксиомы реологии. Виды идеальных деформаций

Первая аксиома реологии: под действием всестороннего равномерногоідавления все изотропныетела ведут себя одинаково: как идеально упругие тела.

В соответствии с первой аксиомой реологии различие материалов трех шаров не обнаруживается при возникновении в телах объёмной деформации, вызываемой шаровой частью напряженного состояния. В соответствии с разложением тензора напряжений на два слагаемых это означает, что это делает сдвиговая деформация, изменяющая форму тела при действии касательных напряжений.

Сделаем небольшое уточнение. Изотропные материалы, подвергнутые всестороннему сжатию, изменяют свой объём, плотность, не меняя при этом своей формы. В анизотропных же материалах действие всестороннего давления вызывает различные изменения линейных размеров в разных направлениях, это приводит к искажению первоначальной формы тела (деформационная анизотропия).

В механике сплошной среды рассматриваются идеализированные тела, наделенные различными свойствами. Тело, при деформировании которого возникает только упругая деформация, называют идеально упругим. Также определяется идеально пластическое и идеально вязкое тела.

Упругая деформация. Тело Гука (H). Механическая модель упругого тела Гука —пружина, около которой ставится знак H (Рис. 5, а).



Упругостью называют способность тела восстанавливать свою форму и объём (у твердых тел) или только объём (жидкость, газы) после прекращения действия сил. Под упругой деформацией понимают деформацию, которая полностью исчезает после снятия нагрузки. Такую деформацию часто называют обратимой, восстанавливающейся. В идеально упругом теле упругая деформация возникает практически сразу после приложения нагрузки и столь же быстро исчезает после снятия нагрузки. Упругие деформации могут быть линейными (прямо пропорциональны приложенным напряжениям) и нелинейными (в этом случае говорят о нелинейной упругости).

Реологические уравнения состояния идеального упругого линейно-деформируемого тела (тела Гука) в случае сложного напряженного состояния имеют вид

                                              t_i = G. g_i, s_ср = K. e_ср,                                      (6)

где G - модуль сдвига, dim G = H/м², K - коэффициент объемного деформирования (модуль объёмного сжатия), dim K = H/м². Величины G, K являются реологическими параметрами.

Так как в соответствии с первой аксиомой реологии только сдвиговая нагрузка обнаруживает реологические различия между телами, то внимание мы будем уделять только тем реологическим уравнениям состояния, в которых отмечается связь между t_i и g_i. Относительно же уравнения s_ср = K. e_ср заметим следующее. Эта зависимость показывает, что объёмная деформация является только функцией среднего нормального напряжения.

Реологическому уравнению t_i = G. g_i соответствует реологическая диаграмма,

приведенная на рис. 6. При уменьшении напряжений t_i линия разгрузки совпадает с линией нагружения. Величина модуля сдвига G определяется тангенсом угла наклона луча 0А к оси деформации: G = tga.

Полное отсутствие деформаций (как сдвиговых, так и линейных) в абсолютно твердом теле при действии на него соответствующих напряжений (касательных или нормальных) свидетельствует о том, что жесткость D евклидова тела, определяемая выражением D = F/ D l, где F - сила, действующая на тело, D l —величина абсолютной деформации тела, принимает бесконечно большое значение; dim D = Н/м.

Пластичность. Тело Сен-Венана (StV). Механическая модель тела Сен-Венана изображена на рис. 5, б. Она представляет собой две пластинки, края которых соединены c помощью клея внахлест (элемент сухого трения Сен-Венана).

Пластичностью называют свойство тел необратимо изменять свою форму под действием приложенных к нему сил. У идеально пластического тела пластическое состояние наступает тогда, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого предельного значения. Это предельное значение t_т называется пределом текучести на сдвиг и является реологическим параметром, dim t_т = Па. Реологическое уравнение состояния тела Сен-Венана записывается в виде

                                                    g_i = 0 при t_i < t_т,

                                              g_i ® ¥ при t_i ³ t_т.                                          (7)

При значительной величине пластической деформации упругой объёмной деформацией можно пренебречь. В этом случае условие s_ср = K. e_срізаменяется условием несжимаемости тела. Для жесткопластического тела Сен-Венана реологическое уравнение состояния, характеризующее изменение объёмной деформации, принимает вид: e_v = 0.

Реологическая диаграмма жестко-пластического тела Сен-Венана приведена на рис.7.

У жестко-пластического тела Сен-Венана деформация при разгрузкеіне восстанавливается: полностью является пластической g^p.

Вязкая деформация. Тело Ньютона (N). Механической моделью тела Ньютона является перфорированный поршень, находящийся в цилиндрическом сосуде с жидкостью (Рис. 5, в).

Вязкостью называют свойство тел оказывать сопротивление при перемещении молекул по отношению друг другу. Вязкое течение наступает при любой величине напряжения сдвига t_i, большем нуля, и развивается с постоянной скоростью dg_i/dt = g_i = соnst, (dim g_i = c ^—), причем скорость деформации сдвига прямо пропорциональна напряжению сдвига. Деформация вязкого течения полностью необратима. Жидкость, удовлетворяющая указанным условиям, называется идеально вязкой ньютоновской жидкостью. Необратимые вязкие деформации называют течением.

Уравнение состояния для ньютоновской жидкости имеет вид:і

                                         t_i = h.g_i, s_ср = k. e_ср,                                        (8)

где h —коэффициент динамической вязкости, dim h = Па. с, является важным реологическим параметром.

Реологическая диаграмма тела Ньютона приведена на рис. 8. Кривые течения носят линейный характер, т.е. изображаются на графике прямыми линиями, проходящими через начало координат. Величина вязкости определяется углом наклона a луча ОА к оси деформаций: tg a = h.

Величина ньютоновской вязкости зависит от температуры, давления, но не зависит от величины скорости сдвига g_i.

Крайними видами идеализированных тел являются абсолютно твердое (недеформируемое) евклидово тело, реологическое уравнение состояния которого имеет вид: g_i = 0, e_ср = 0 и идеальная паскалевская жидкость с реологическим уравнением состояния t_i = 0, e_ср = 0.

Условие e_ср = 0 означает, что объёмная деформация евклидова тела и паскалевской жидкости равна нулю.

Уравнение t_i = 0 для паскалевской жидкости свидетельствует о том, что эта жидкость имеет нулевую вязкость.

Уравнение g_i = 0 свидетельствует о том, что модуль сдвига G евклидова тела бесконечно большой.

Таким образом, идеализированные тела, которые мы рассмотрели (тела Гука, Сен-Венана и Ньютона), располагаются между абсолютно твердым (недефор-мируемым) и идеально жидким телами.

От рассмотрения трех идеальных деформаций вернемся к нашим шарам. Три шара сделаны из реальных материалов. В каждом из этих материалов мы выделили основное поведение (упругую, пластическую и вязкую деформацию), которое замечается даже невооруженным глазом. Если же более тщательно всмотреться в развитие деформаций в шарах при их контакте с поверхностью стола, то обнаруживается, что наряду с доминирующим типом деформации существуют и не доминирующие, т.е. наблюдаются отклонения от законов деформирования (6),(7), (8). Подобные наблюдения составили основу второй аксиомы реологии.

Вторая аксиома реологии: kаждый материал обладает всеми реологическими свойствами, хотя и в разной степени.

В горных породах, не являющихся примером идеального тела, при деформировании развиваются все перечисленные виды деформаций одновременно: упругие, пластические, вязкие. По этой причине для описания их деформирования необходимо использовать более сложные механические модели.

Реологические свойства реальных тел можно моделировать с помощью различных сочетаний идеальных моделей. Существует параллельное и последовательное соединение идеальных моделей между собой. Параллельное соединение элементов обозначается знаком (½ ), а последовательное знаком (―). Построение сложных реологических моделей происходит в соответствии с требованиями третьей аксиомы реологии.

Третья аксиома реологии: cуществует иерархия реологических тел, согласно которой тело, низшее по иерархии, должно получаться из тела, высшего по иерархии, если в последнем приравнять нулю некоторые реологические параметры.

Третья аксиома реологии «ограничивает» построение новых реологических моделей: если при приравнивании к нулю реологических параметров модель нового реологического тела (высшего по иерархии) не обеспечивает возврат к уже известной модели, отражающей реологическое поведение тела, низшего по иерархии, то построение реологической модели нового тела было сделано неверно. Этот вывод относится и к дифференциальным уравнениям, описывающим поведение тел.

   Сложные реологические тела

При последовательном соединении элементов полная нагрузка t приходится на каждый элемент, входящий в сложное тело:

t = t₁ =... = t_n,

а полная деформация, возникающая в теле, складывается из деформаций, возникающих в отдельных составляющих сложное тело элементах:

g = g₁ +... + g_n.

При параллельном соединении элементов деформации одинаковы для всех элементов:

g = g₁ =... = g_n,

а полная нагрузка t складывается из нагрузок на отдельных элементах:

t = t₁ +... + t_n.

Рассмотрим некоторые примеры построения сложных тел.

Упруго-пластическое тело Прандтля. Структурная формула тела Прандтля имеет вид: Р = Н —StV. Реологическая диаграмма и механическая модель этого тела приведены на рис. 9. Данное тело при напряжениях, ниже предела текучести t_i < t_т, деформируется упруго по закону Гука t_i = G. g_i, а при t_i = t_т деформируется пластически. У этого тела деформация при разгрузке восстанавливается лишь частично. Общая деформация сдвига g^s слагается из упругой g^e и пластической частей:

g^s = g^e + g^p.

Упругопластическое тело Прандтля представляет собой тело, у которого отсутствует деформационное упрочнение. Для поддержания развития пластической деформации не требуется повышения напряжений t_i до значений, превышающих предел текучести t_т: достаточно поддерживать напряжения, равные пределу текучести.

На рис. 10 приведена зависимость интенсивности касательных напряжений t_i от интенсивности сдвиговой деформации g_i для упругопластического материала, обладающего деформационным упрочнением. При деформировании такого материала за начальной величиной предела текучести t_т в материале начинает накапливаться остаточная деформация g^p. Уменьшению напряжений t_i на этом участке деформирования соответствует процессіразгрузки, происходящий по упругому закону (пунктирные линии а, б, в, на рис. 10). Новое повышение напряжений t_i приводит к увеличению предела текучести до значения t > t_т. Это и есть упрочнение, связанное с развитием пластической деформации.

В таком материале наблюдается и эффект Баушингера: величина обратного (при растяжении материала) предела текучести (упругости) снижается t_* ' < t_т ' (рис. 10).



Вязко-упругое тело Максвелла; ползучесть и релаксация напряжений. Структурная формула тела Максвелла имеет вид: М = H —N (рис. 11, а). Реологическое уравнение, соответствующее этой структурной формуле, представляется следующим образом: g_M = g_H + g_N, где g_H, g_N —деформация элемента модели тела Гука, Ньютона. Аналогичный вид имеет и формула для скорости сдвиговой деформации в теле Максвелла: g_M = g_H + g_N, где g_H, g_N - скорость сдвига в телах Гука и Ньютона.

Подставляя в выражение для скорости сдвиговой деформации тела Максвелла значения скоростей деформаций тел Гука (g = t /G) и Ньютона (см. первое уравнение в (8)), получим дифференциальное реологическое уравнение тела Максвелла:

                                         t + Т.t = hg,                                                   (9)

где T = h /G —время релаксации, dim T = с. Время релаксации T являетсяіважным реологическим параметром.

При постоянном напряжении t = 0 тело Максвелла превращается в тело Ньютона, т.е. тело ведет себя как вязкая жидкость. Рост деформации в теле Максвелла с течением времени t происходит по линейному закону

g = t t/ h + g_о_,

где g_о —величина деформации в момент времени t = 0. Этот процесс называетсяползучестью (рис. 12).

При постоянной деформации (g = const) решение уравнения (9) имеет следующий вид:

t = t_о.e^-^t^/^T,

где t_о есть начальное напряжение сдвига, t - время действия нагрузки.

.

В соответствии с последним уравнением напряжение в теле Максвелла релаксирует (уменьшаются) практически до нуля (рис. 13).

Скорость развития релаксации напряжений определяется величиной времени релаксации: чем меньше Т, тем в большей степени материал проявляет жидкостные свойства и наоборот, чем больше Т, тем более твердообразным является материал.