1. Дифференциальными уравнениями называют уравнения, которые содержат неизвестную функцию, её производные и аргументы.
Обыкновенным называется дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Если неизвестная функция является функцией многих переменных, то соответствующее уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, которая входит в это уравнение.
Пример 7.1.
1) - обыкновенное дифференциальное уравнениеІ порядка.
2) - обыкновенное дифференциальное уравнениеІІІ порядка.
3) + =0 - дифференциальное уравнениев частных производных ІІ порядка (уравнение Лапласа).
Далее будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Наиболее общий вид дифференциального уравнения І порядка такой:
F (x, у, у ’)=0. (7.1)
Решением этого уравнения на некотором промежутке называется дифференцированная на этом промежутке функция , которая при подстановке её в уравнение превращает его в тождество.
|
|
Пример 7.2. Решить уравнение .
Решение.
= у, = , ln = x+ ln , у=Сех.
Получили множество решений.
у
С =2
С =1
2
1 С =0
0
-1 С = -1
-2
С =-2
Функция , где С – произвольная постоянная, называется общим решением уравнения (7.1) в области D, если:
1) функция является решениемуравнения (7.1) для всех значений переменной С из некоторого множества;
2) для произвольной точки () существует единственное значение С=С 0, при котором функция удовлетворяет начальному условию
Решение , полученное из общего решения при С=С 0, называется частным решением уравнения (7.1).
С геометрической точки зрения решение определяет некоторое бесконечное множество кривых, которые называются интегральными кривыми данного уравнения. Частное решение определяет только одну интегральную кривую, которая проходит через точку с координатами ().
|
|
Если общее решение уравнения (7.1) найдено в неявном виде Ф(х, у, С)=0, то такое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения; равенство Ф(х, у, С 0)=0 называют частным интегралом дифференциального уравнения.
Значит, для уравнения (7.1) можно поставить две задачи:
1) найти общее решение уравнения (7.1);
2) найти частное решение уравнения (7.1), которое удовлетворяет начальному условию .
Вторая задача называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравненияІ порядка.
Пример 7.3. Решить задачу Коши
, у (0)=2.
Решение. Сначала ищем общее решение дифференциального уравнения: у=Сех.
Из начального условия имеем: 2= Се 0 .
Решением задачи Коши является такая функция: у= 2 ех.
Если уравнение (7.1) можно решить относительно у’, то его записывают в виде
и называют уравнением первого порядка, решенным относительно производной, или уравнением в нормальной форме.
Теорема 7.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция непрерывна в некоторой области D, которая содержит точку М (), то задача Коши
,
имеет решение. Если, кроме этого, в точке М непрерывна частная производная , то это решение единственное.
Процесс нахождения решений дифференциальных уравнений называется интегрированием этих уравнений. Если этот процесс сводится к алгебраическим операциям и вычислению конечного числа интегралов и производных, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Однако класс таких уравнений очень ограничен. Поэтому для решения дифференциальных уравнений широко применяют разные приближённые методы интегрирования дифференциальных уравнений с использованием вычислительной техники.
Рассмотрим некоторые типы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
2. Дифференциальное уравнение вида
называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.
Чтобы найти его общее решение, достаточно проинтегрировать обе его части.
.
Дифференциальное уравнение вида
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Чтобы найти его общее решение, надо сначала отделить переменные
а затем проинтегрировать
Пример 7.4. Найти общее решение уравнения
Решение. Сначала отделим переменные
,
а затем проинтегрируем
, , у=С ln x.
3. Функция называется однородной функцией п -го измерения относительно переменных х и у, если для произвольного числа выполняется тождество
Пример 7.5.
1) = ,
- однородная функция третьего измерения.
2) = - однородная функция нулевого измерения.
Уравнение y’= называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция является однородной функцией нулевого измерения, то есть, если
(7.2)
Очевидно, уравнение вида
будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р (х, у) и Q (х, у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение
однородное. Считая, в соотношении (7.2) , получим
Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения: однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
(7.3)
Применим в уравнении (7.3) подстановку
, ,
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными
,
которое всегда интегрируется в квадратурах:
,
.
После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить
Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой , .
|
|
Пример 7.6. Найти общее решение уравнения
Решение. Применим подстановку , . Тогда получим
,
, ,
, , .
Пример 7.7. Решить задачу Коши
, у (1)=2.
Решение. Поскольку обе функции
однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде
и применим подстановку , . Тогда получим
,
, , .
Из начального условия найдём постоянную интегрирования:
Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши: