Интегрирование по частям. Интегралы, которые ”не берутся”

Интеграл – одно из центральных понятий математики. Оно возникло в связи с двумя задачами: 1) о восстановлении функции по её производной; 2) о вычислении площади криволинейной трапеции. Эти задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов: определённого и неопределённого. Термин ”интеграл” ввёл Якоб Бернулли в 1690 году.

1. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство F^’ (x)= f (x).

Например. первообразными функции f (x)=3 х ² будут функции х ³, х ³+1, х ³+0,5 и вообще F (x)= х ³+ С, где С – произвольная постоянная, поскольку F^’ (x)=(х ³+ С)’=3 х ². Этот пример показывает, что если функция f (x) имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Возникает вопрос: как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них? Ответ даёт такая теорема.

Теорема 6.1 Если F (x) – первообразная функции f (x) на некотором промежутке, то всякая другая первообразная функции f (x) на этом промежутке имеет вид F (x) + С, где С – произвольная постоянная.

Множество всех первообразных F (x) + С функции f (x) называют неопределённым интегралом функции f (x) и обозначают . Таким образом, по определению

= F (x) + С, если F^’ (x)= f (x).

При этом f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dх – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, знак - знаком интеграла, С – постоянной интегрирования.

Операцию нахождения первообразной функции f (x) называют интегрированием этой функции.

Операции дифференцирования и интегрирования являются обратными по отношению друг к другу.

Возникает вопрос: для каждой ли функции f (x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл? Оказывается не для каждой. Но справедлива такая

Теорема 6.2. Всякая непрерывная на промежутке [a;b] функция имеет на этом промежутке первообразную.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1. ()’= f (x).

2. = F (x) + С.

3. d = f (x) dх.

4. = .

5. Если = F (x) + С и и = - произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то

= F (и) + С.

В частности,

=  F (a x+b) + С.

Из очень важного свойства 5 следует, что таблица интегралов остаётся верной независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или произвольной дифференцированной функцией. Таким образом, из одной формулы можно получать много других.

Пример.

= + С = = + С, = = + С, = + С.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1.   .

2.

3.     а >0, .

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

Непосредственным интегрированием называют вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределённого интеграла и таблицы интегралов.

Пример.

Метод подстановки является одним из основных методов интегрирования. Больше того, изучение методов интегрирования в основном сводится к выяснению того, какую подстановку надо сделать в том или ином случае.

Пример.

Этот пример можно было бы решить и так:

Такой метод интегрирования называется методом введения функции под знак дифференциала.

3. Пусть и (х), v (x) – функции, которые имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда

d (uv) = udv + vdu

или

udv= d (uv) – vdu.

Интегрируя это равенство, получим

или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,

.

Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.

Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

1) в интегралах , где k – натуральное число, за и следует брать х^k, а за dv – выражение, которое осталось;

2) в интегралах , следует обозначать dv= х^kdx.

Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функции f (x), то есть = F (x) + С. Но при этом не всегда первообразная F (x) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например,  

= F (x) + С, где F (x) = х - + - +....

Не берутся такие интегралы:

 - интегральный логарифм,  - интегральный синус, - интегральный косинус, ,  - интегралы Френеля и другие.

В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых  всегда ”берутся”, является класс рациональных функций.