Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций

1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь

где Р_т (х), Q_n (x) – многочлены степени т и п:

Q_n (x) = х^п+ х^{п -1}+...+ , Р_т (х) = х^т+ х^{т -1}+...+ .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т< п, и неправильной, если т п.

Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.

Различают четыре вида элементарных дробей:

І. , ІІ. , ІІІ. , ІV. ,

где п= 2,3,..., а трехчлен х²+рх+q не имеет действительных корней, то есть D=р²- 4 q< 0.

Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.

І.

ІІ.

ІІІ. Пример.

--- = - .

2. Как известно из алгебры, многочлен Q_n (x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители

Q_n (x) = (х-х ) ^k_… (х-х_r) ^k (x²+p x+q ) ^l …(x²+p x+q ) ^l,

где , х , p , q - действительные числа; k , I - натуральные числа; k +…+ k + 2(I +…+ I )= n, р ²- 4 q < 0.

Рассмотрим правильную рациональную дробь

знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:

1) множителю (х-а) ^k соответствует сумма дробей вида

+ +…+ ;

2) множителю (x²+px+q) ^I соответствует сумма дробей вида

+ +…+ ,

где А , М , N - неопределённые коэффициенты.

Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример. Вычислить интеграл

Решение.

+ ,

х+ 5= А (х+2)+ В (х+ 1),

А= 4, В =-3.

= 4 -3 = 4ln -3ln + C.

3. 1. Интегралы вида

где R (х, у) – рациональная функция относительно х и у, , сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

ax+b=t .

2. Интегралы вида

где R – рациональная функция, p , q - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки

=t ,

где п – общий знаменатель дробей , ,….

3. Интегралы вида

(6.1)

всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки

, , ,

х= 2arctg t, dx= .

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.

1) Если в интеграле (6.1) R (-sin x, cos x)= - R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.

2) Если R (sin x,-cos x)= - R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.

3) Если R (-sin x, -cos x)= R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку

tg x=t, , ,