Простые (арифметические) проценты по вкладу

Пусть некий человек, назовём его экономическим агентом или вкладчиком, кладёт на счёт в банке V денежных единиц, например 1000 р.

По условиям договора банк обязуется ежегодно выплачивать вкладчику фиксированную долю вклада. Чаще всего эта доля выражена в процентах и называется процентом по депозиту (вкладу). Обозначим этот показатель через r. Обозначение связано с английским термином interest rate.

В конце первого года хранения денег в банке вкладчик получит доход Vr/ 100 единиц.

Для того чтобы формулы были менее громоздкими, процент по вкладу удобнее выражать в долях. Например, в процентах – 5 %, а в долях – 0,05.

Если выражать процент по вкладу в долях, то в конце года вкладчик получит Vr денежных единиц.

Если вкладчик забирает проценты, а вклад остаётся в банке, то в конце следующего года вкладчик получит ещё Vr денежных единиц. Другими словами, за два года вкладчик получит 2 Vr единиц. Аналогично за t лет вкладчик получит Vrt денежных единиц.

Вкладчик может не забирать накопившиеся к концу года проценты, а добавлять эту сумму к основному вкладу. Договор с простыми процентами характеризуется тем, что проценты на проценты не начисляются. Условия договора по начислению процентов распространяются только на основной вклад.

В этом случае к концу года t вклад будет составлять V_t= V (1 + rt) денежных единиц.

Для целочисленного положительного (натурального) t величина вклада представляет собой арифметическую прогрессию с разностью Vr. Индекс t подчёркивает, что мы рассматриваем величину вклада как функцию времени (числа лет), а первоначальный размер вклада V и ставка процента r рассматриваются как параметры.

Формула ясно указывает, что при начислении простого процента размер вклада растёт как линейная функция времени.

Заметим, что величина накопленного вклада будет такой же в конце периода, если процент по вкладу уменьшить в 2 раза, но подождать вдвое больше времени.

Геометрическое место точек плоскости (r, t) таких, что значение функции V_t сохраняется постоянным, называется линией уровня этой функции (рис. 1). Уравнение этой линии для вклада с простым начислением процентов имеет вид: V (1 + rt) = const.

При заданном начальном вкладе эта линия – ветвь гиперболы rt = k, лежащая в первом квадранте (по горизонтальной оси отложено время, по вертикальной – доля). При построении графика время рассматривается как непрерывное, хотя доход выплачивается только в конце каждого года.

Если вкладчик планирует держать деньги в банке несколько лет, то начисление простых процентов явно невыгодно для него. Вкладчик быстро сообразит, что ему выгоднее забрать вклад и проценты в конце года и тут же вложить увеличенную за счёт процентов сумму денег ещё на один год, через год повторить эту операцию, и так каждый год. При такой стратегии ежегодные проценты будут начисляться на всю накопленную сумму, а не только на первоначальный вклад.