Сложные проценты по вкладу

Для того чтобы избежать бессмысленных операций ежегодного закрытия вклада и открытия его вновь, банк предлагает клиентам схему начисления сложных процентов.

Начисление сложных процентов эквивалентно тому, что срок размещения вклада всегда составляет только один год, но первоначальная сумма ежегодно растёт за счёт начисленных в предыдущем году процентов. После первого года вклад составит, как и при простых процентах, V ₁ = V (1 + r). После второго года – V ₂ = V (1 + r)². Аналогично к концу года t вклад будет составлять Vt = V (1 + r) ^t.

При начислении сложных процентов величина вклада увеличивается по формуле геометрической прогрессии с показателем (1 + r). Теперь величина вклада растёт не как линейная, а как показательная функция.

На рис. 2 показано, как растёт вклад при начислении дохода по формуле простых и сложных процентов. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной – размер вклада. Начальный вклад полагается равным одной денежной единице. Обратите внимание, что при малом сроке хранения вклада величина депозита незначительно различается для двух разных способов начисления процентов. При сроке хранения вклада в несколько десятков лет разница становится очень большой.

Линия уровня стоимости вклада при начислении сложного процента имеет вид:

  t ・ ln (1 + r) = const (по горизонтальной оси отложено время, по вертикальной – доля) (рис. 3).

Применим выведенные формулы для решения следующей задачи.

Задача. Папа первоклассницы Тани решил накопить денег на выпускной вечер дочери. Он положил 1000 р. на счёт в банке под годовой номинальный процент 10 %. Найдите сумму, которая накопится на вкладе к окончанию Таней средней школы, если проценты начисляются ежегодно:

а) по формуле простых процентов;

б) по схеме сложных процентов.

Решение. Применение формулы простых процентов даёт 1000 ・ (1 + + 0,1 ・ 11) р. через 11 лет. В итоге в пункте а) папа накопит к Таниному выпускному вечеру 2200 р.

При ежегодном начислении сложных процентов к выпускному вечеру будет накоплено 1000 ・ (1 + 0,1)11 = 2853 р. 12 к.

Накопленная сумма будет примерно в 1,4 раза больше, чем при начислении простых процентов. (5, с. 10 -12)