Пространственные спектры изображений

Спектр изображения получают прямым двумерным преобразованием Фурье функции, описывающей изображение [12]:

F (, )  =   f (x, y) exp (− i (ω x x + ω y y)) dxdy, (2.1)

 

где ω x, ω y – пространственные частоты; i = , мнимая единица.

Функция exp (− i (ω x x + ω y y)) при фиксированных значениях пространственных частот описывает плоскую волну в плоскости изображения (x, y). Формула (2.1) связывает вещественную функцию, описывающую яркость изображения f (x, y) с комплексной функцией частоты – спектром изображения F (ω x, ω y):

 

F (, )  =   f (x, y) cos (− i (, )) dxdy+

+i (− f (x, y) sin (, )) dxdy=Re( , )+i Im( , ), (2.2)

 

где Re (ω x, ω y) – реальная часть спектра; Im (ω x, ω y) – мнимая часть спектра.

 

Рисунок 2.1 Определение пространственных частот изображения.

 

Амплитуда и фаза спектра определяются по формулам (2.3) и (2.4) соответственно:

F (, ) =

ϕ (щ x, щ y) = arctg (Im (, ) / Re (, )).

Из (2.3)

(ω ω) = x y F, F(, ) exp (i ϕ(, )). (2.4)

 

Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить изображение по его спектру:

f (x, y) = (1 / 4 ) F ( , ) exp (i (, ))  (2.5)

Спектральные интенсивности изображений

Спектральная интенсивность изображения характеризует

распределение энергии по пространственным частотам. Она определяется как квадрат модуля спектра изображения:

 

S(, ) = Re  + Im (,  =  ((, )). (2.6)

 

Для ее названия используются термины спектральная плотность и энергетический спектр.

Энергия изображения определяется как интеграл энергетического спектра по пространственным частотам. В соответствии с теоремой Парсеваля энергия изображения может быть вычислена в соответствии с (2.7):

 

  (x, y) dxdy =