Вероятностные модели изображений и функции Автокорреляции

Вероятностные модели изображений широко используются для описания изображений. Изображение в этом случае рассматривается как случайная функция пространственных координат (x, y) и времени t. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если он имеет постоянные значения математического ожидания и дисперсии, а его автокорреляционная функция зависит не от координат, а от их разностей (сдвига). Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его n ‑мерная плотность распределения вероятностей инвариантна к сдвигу. В этом случае не зависят от времени и моменты более высокого порядка, в частности, асимметрия и эксцесс. Случайный процесс описывается плотностью вероятности распределения яркости в изображении по пространственным координатам для некоторого фиксированного момента времени t p (x, y).

В соответствии с определением математическое ожидание (среднее значение) стационарного процесса в широком смысле

Mf =   f (x, y) p (x, y) dxdy =const. (2.8)

Дисперсия

D f =σ 2= E (f (x, y) – ξ  =  (f (x, y) – ξ  p (x, y) dxdy =const. (2.9)

Функция автокорреляции вычисляется в соответствии с (2.10):

R( , ) = =   f (x, y) f( , )) dxdy, (2.10)

где ,   задают сдвиги изображения по соответствующим осям координат.

Для действительной функции f автокорреляционная функция является действительной и четной. Спектр двумерной автокорреляционной функции изображения (прямое преобразование Фурье автокорреляционной функции) равен энергетическому спектру изображения (спектральной плотности мощности) по определению:

S( , ) =   R ( , ) exp (− i(   +  d d . (2.11)

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика может быть получена из одной реализации путем усреднения по времени. При этом среднее по времени равно среднему по ансамблю реализаций. Свойство эргодичности используется при оценке вероятностных характеристик изображений.