Общие сведения о проведении численного эксперимента газовой динамики

Первым этапом проведения эксперимента является возникновение или постановка физической задачи. Правильная постановка задачи в значительной мере предопределяет успех всей проводимой работы. Моделирование опыта можно рассматривать как второй этап. Это может быть либо численное моделирование, либо моделирование физических процессов. Каждый из этих методов имеет свои особенности. Численное моделирование дает количественное выражение закономерностей, присущих математической модели. Напротив, с помощью моделирования физических процессов наблюдается аналог действительности или даже сама действительность. Таким образом, полезность расчета ограниченна обоснованностью математической модели [7].

Численное моделирование задач газовой динамики осуществляется по следующему алгоритму:

1. Построение геометрии модели (тело + расчетная область).

Построение геометрии осуществляется в специализированных пакетах таких, как Solid Works, KOMPAS, Unigraphics, ProEngineer и др. Построенная объемная модель, специального формата, импортируется в сеточный генератор.

2. Построение блочной сетки.

Правильное генерирование сетки расчетной области является одой из наиболее важных задач при моделировании. Разбиение влияет на такие параметры как качество конечного результата, сходимость при решении, скорость расчета.

3. Подготовка модели (задание свойств среды, начальных условий, граничных условий, параметров решателя).

4. Запуск решателя.

Здесь необходимо проверить “сходимость” решения.

5. Просмотр результатов в модуле Post.

Численное решение, производимое в решателе, представлено на рис.3.1.

На первом этапе - дискретизации - дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие непрерывный процесс, а также вспомогательные (граничные и начальные) условия преобразуются в систему дискретных алгебраических уравнений. Чтобы преобразовать исходное уравнение в частных производных (или систему таких уравнений) в систему алгебраических уравнений (или обыкновенных дифференциальных уравнений), можно выбрать один из нескольких вариантов. Способ осуществления дискретизации зависит также от того, рассматриваются ли производные по времени (в применении к задачам с зависимостью от времени), или же уравнения, содержащие только пространственные производные.

На практике дискретизация производных по времени осуществляется почти исключительно с использованием разностных методов [8]. При дискретизации пространственных производных используется, как правило, метод конечных разностей, конечных элементов, конечных объемов [8, 9, 10, 11].

 

Рисунок 3.1. Структура численного решения

 

При применении данных методов алгебраические уравнения связывают между собой значения искомых переменных в группе соседних узловых точек (сеточных узлов) [12, 8]. Также подразумевается, что сетка, состоящая из дискретных точек, распределена по всей вычислительной области во времени и в пространстве.

В процессе замены отдельных членов исходных уравнений, представляющих собой частные производные, алгебраическими выражениями, связывающими узловые значения на конечной сетке, вносится некоторая ошибка аппроксимации [9, 8]. Суть ее заключается в том, что при переходе от непрерывных функций к их дискретным аналогам используется разложение в ряды с удержанием определенного числа значимых членов и отбрасыванием малых высокого порядка, а также замене дифференциалов переменных их приращениями.

Система алгебраических уравнений, полученная в результате процесса дискретизации, согласуется с первоначальным дифференциальным уравнением в частных производных, если в пределе, когда размеры ячеек сетки и величина шага по времени стремятся к нулю, система алгебраических уравнений эквивалентна дифференциальному уравнению в частных производных в каждой из узловых точек сетки. Таким образом, величина ошибки аппроксимации характеризует свойство согласованности численного метода дискретизации [8].

Решение алгебраических уравнений, аппроксимирующих заданное дифференциальное уравнение в частных производных, называют сходящимся, если это приближенное решение приближается к точному решению дифференциального уравнения в частных производных для любого значения независимой переменной, по мере того как размеры ячеек сетки и шаг по времени приближаются к нулю. На основании этого определения может быть рассмотрена ошибка решения, которая определяется как разница между точным решением дифференциального алгебраических уравнений и характеризует свойство сходимости [8].

Если учесть, что для большинства задач газовой динамики определяющие уравнения являются нелинейными, процесс построения численного решения обычно ведется посредством итераций (используются методы Ньютона, многосеточные методы, метод сопряженных градиентов). Иначе говоря, решение для каждого искомого переменного в каждой узловой точке последовательно корректируется посредством обращения к дискретизованным уравнениям [9, 14, 8, 10, 15, 13].

В заключение необходимо отметить, что наиболее востребованным численным методам решения уравнений газовой динамики является метод контрольного объема, обладающий значительными преимуществами в сравнении с остальными

Прежде чем приступить к моделированию газодинамической задачи, необходимо уточнить методологию, для выбора оптимальных параметров решателя. Проблема заключается в подборе параметров, таким образом, чтобы добиться наибольшей точности решения при наименьшем времени реализации алгоритма решения на ЭВМ.

· Основные уравнения газовой динамики

Упомянутые выше основные уравнения, являются уравнениями газовой динамики. Газовая динамика – это раздел механики сплошных сред, описывающий движение жидкостей и газов в рамках модели сплошной среды. Последнее означает, что рассматриваются масштабы явлений, значительно превосходящие длину свободного пробега молекул. В рамках данного подхода все физические законы, а также свойства являются общими как для макрообъектов, так и бесконечно малых объемов.

В наиболее общем случае для задачи газовой динамики требуется решить систему из четырех независимых уравнений, которая носит название системы уравнений Навье-Стокса:

1. Уравнение неразрывности (сохранения массы)

 

.                              

2. Уравнение количества движения (сохранения импульса)

 

,         

 

где

 - тензор напряжений, записываемый в виде

 

;                                   

 

 - дельта-функция Кронекера

 

.                                          

 

3. Уравнение энергии (сохранения энергии)

 

,     

 

где

,                                      

.                                     

 

4. Уравнение состояния

                                                                                 

 

Для записи соотношений - использованы следующие обозначения:  - давление;  - плотность;  - скорость;  - температура;  - время;  - полная энтальпия;  - статическая энтальпия;  ‑ источниковый член для импульса;  - источниковый член для энергии;  - коэффициент динамической вязкости;  - коэффициент теплопроводности;  - оператор Гамильтона (набла);  - обозначает векторную величину.

Система уравнений Навье-Стокса образуют законченную математическую модель поведения жидкости (газа), детально и строго описывающую практически весь спектр течений. Однако на практике к ней необходимо добавить уравнения (совокупность эмпирических и иных соотношений) для модели турбулентности, чтобы система в целом могла быть решена.

При рассмотрении некоторых основных дифференциальных уравнений гидродинамики -, можно сделать вывод, что основные переменные  подчиняются обобщенному закону сохранения [4, 8]. Если обозначить зависимую переменную , то обобщенное дифференциальное уравнение можно записать в следующем виде:

 

                                           

 

где

 - коэффициент диффузии;

 - источниковый член.

В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестационарный, конвективный, диффузионный, источниковый. Зависимая переменная  обозначает различные величины, такие, как температура, составляющая скорости и т. д. При этом коэффициенту диффузии  и источниковому член  необходимо придать соответствующий каждой из этих переменных смысл.

Анализируя обобщенное дифференциальное уравнение сохранения и саму систему Навье-Стокса, записанную для наиболее общего случая трехмерного нестационарного движения вязкой жидкости, можно видеть, что среди данных выражений присутствуют дифференциальные уравнения в частных производных как первого, так и второго порядка. Дополнительный важный аспект - наличие нелинейной зависимости членов уравнений от переменных.

При историческом развитии динамики жидкости в рассмотрение был введен ряд классов течений, описываемых значительно более простыми системами, чем указанная выше -. Эти различные классы возникают при пренебрежении или ограничении некоторых свойств течений. Для течений, представляющих практический интерес, соответствующая классификация приведена в таблице 2.1. Классификация проведена по двум параметрам - вязкости и плотности. Несжимаемые течения, как правило, ассоциируются с течениями, скорость которых мала по сравнению со скоростью звука (). Наоборот, для сжимаемых течений (, либо разница температур в потоке велика) требуется рассмотреть полное уравнение неразрывности и учитывать полное уравнение энергии.

При рассмотрении влияния вязкости возникают три основных класса течений. В случае течений у хорошо обтекаемых тел свойства большей части потока и, в частности, распределение давления по телу довольно точно могут быть получены в предположении, что вязкость жидкости равна нулю. Для сжимаемых невязких течений имеет смысл дальнейшее подразделение на классы, зависящее от того, больше или меньше единицы число Маха .

 

Таблице 2.1. Классификация течений

Вязкость	Плотность
	Несжимаемые ()	Сжимаемые ()
Невязкие течения ()	Потенциальные течения ()	Газовая динамика ()
Течение в пограничных слоях (вязкость существенна вблизи поверхности)	Ламинарные течения (очень малые числа ) Турбулентные течения (большие числа )	Существенен перенос тепла
Отрывные течения (вязкость существенна везде)	Ламинарные течения (малые числа ) Турбулентные течения (очень большие числа )	Существенен перенос тепла

 

Для течений у хорошо обтекаемых тел эффекты вязкости существенны лишь в тонких пограничных слоях, расположенных в непосредственной близости к поверхности тела. Сила трения (сопротивление поверхностного трения) на теле определяется лишь вязкостью в пограничном слое. При ненулевой теплопроводности перенос тепла также определяется лишь течением в (тепловом) пограничном слое. Для течений с большими числами Рейнольдса вязкость не способна подавить возмущения, которые могут возникать внутри пограничного слоя. Следовательно, чтобы получить осредненные по времени параметры течения, требуется ввести некоторые эмпирические параметры, учитывающие турбулентность потока.

У плохо обтекаемых тел (например, автомобиля) на подветренной стороне возникают области отрывных течений, в которых существенны эффекты вязкости. Если числа Рейнольдса не слишком малы, течения в таких зонах являются турбулентными и часто нестационарными. Обычно для описания отрывных течений необходимо решать полную систему уравнений Навье-Стокса для сжимаемой и несжимаемой жидкостей.

Приведенные выше соображения позволяют сильно упростить решение задачи при соответствующих обоснованных допущениях. Однако даже в подобных идеализированных случаях точное математическое решение существует только для простых тел (пластина, сфера, цилиндр, клин).

Прямым следствием невозможности точно разрешить систему уравнений Навье-Стокса становится попытка найти инструмент отыскания приближенного решения задач газовой динамики даже в самой общей постановке. Подобным инструментом выступают численные методы решения, предлагающие гибкий и достаточно прозрачный математический аппарат. Кроме того, существует возможность создать метод приближенных вычислений с заранее оговоренными свойствами и границами применимости.