Общие сведения о методе контрольного объема

 

Выбранный для примера программный комплекс Ansys CFX v.10 основан на конечно-объемном методе (МКО) решения уравнений гидродинамики. Понимание метода позволит безошибочно провести численный эксперимент, несмотря на то, что в CFX МКО дополнен и утонен рядом других уравнений. Поэтому, можно рассмотреть классический метод контрольного объема, описанный Патанкаром.

В МКО расчетную область разбивают на N-е число непересекающихся контрольных объемов (рисунок 3.2) таким образом, что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов используют кусочно-непрерывные функции, которые описывают изменение зависимой переменной (например, одной из составляющих скорости) между сеточными узлами. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения. Дискретный аналог представляет собой алгебраическое уравнение,

 

 

связывающее значение Ф (зависимая переменная, обозначает различные величины, такие, как массовая концентрация химической компоненты, энтальпия или температура, составляющая скорости, кинетическая энергия турбулентности или масштаб турбулентности) в некоторой группе узловых точек. Это уравнение получается из дифференциального уравнения, описывающего изменение Ф, и, следовательно, оно несет ту же физическую информацию, что и дифференциальное уравнение. Каждое уравнение интегрируется по контрольному объему и применяется теорема Гаусса, для того, чтобы конвертировать некоторые объемные интегралы в поверхностные. Вычислительные затраты этого метода линейно зависят от числа узловых точек. Алгоритм решения дискретных аналогов включает:

1. Выбор начального приближения или оценка значений Ф во всех узловых точках.

2. Расчет предварительных значений коэффициентов в дискретном аналоге на основе начального профиля Ф.

3. Решение линейной системы алгебраических уравнений, дающее новые значения Ф.

4. Возврат ко второму этапу и повторение процесса до тех пор, пока дальнейшие приближения (итерации) перестанут давать сколько-нибудь существенные изменения в значениях Ф.

 

Рис.3.2. Контрольный объём (заштрихованная область), для двумерного случая и обозначения для алгоритма в декартовой сетке

 

Одним из важных свойств МКО является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на любой группе контрольных объемов, следовательно, и на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам.

Ansys CFX позволяет проводить расчеты на смешанных сетках, состоящих из различных типов элементов: тетраэдров, призм, клиновидных элементов и гексаэдров (рис.3.3).

 

Рисунок 3.3. Ячейки а) – гекса, б) – тетра, в) – призма, г) - пирамида

 

При расчете стационарных вариантов процесс итерации по времени завершается при достижении требуемого уровня сходимости, определенного пользователем. Для расчета переходного режима итерационная процедура обновляет нелинейные коэффициенты на каждом временном шаге (цикл для коэффициентов), в то время как внешний цикл приближается к решению по времени. [12,16] Для наглядности, схема описанного алгоритма изображена на рис.3.4.

 

критерий схождения

максимальное время

критерий схожднеия/ Максимальное число итераций

продвижение по времни

Временной?

вычисление перемещения масс

вычисление турбулентности

вычисление энергий

Рисунок 3.4. Схема алгоритма

 

Выводы

 

В этой части предложена схема построения численного решения задач газовой динамики, рассмотрены некоторые математические аспекты данной проблемы. Кроме того, был сформулирован метод контрольного объема, как один из самых эффективных и удобных методов численного моделирования. Прозрачная физическая интерпретация метода сделала его одним из самых востребованных при создании компьютерных пакетов по вычислительной газовой динамике. Следующим шагом должно стать построение стратегии компьютерного моделирования в П.П.П. и проведение численного эксперимента.

Для проведения численного эксперимента был выбран наиболее оптимальный программный прикладной пакет – Ansys CFX, основанный на методе контрольного объема.

 

4. РАСЧЕТ ДИНАМИКИ ВЫХОДА РАЕТЫ ИЗ ШАХТНОЙ ПУСКОВОЙ УСТАНОВКИ (ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ)

 

Постановка задачи

 

На основе исходных данных и расчетах, проведенных в разделе 2, разработать стратегию численного эксперимента газодинамической задачи выхода ракеты из шахты. На основе проведенной работы сделать выводы.