Тема: «Понятие площади. Площадь квадрата»

Цели урока: 1) учащиеся должны понять практическую необходимость измерения площадей;

2) усвоить: свойства простой фигуры; формулу вычисления площади квадрата и уметь её доказывать с учётом того, каким числом измеряется длина стороны квадрата – рациональным или иррациональным.

Ход урока

1. Устный счёт

Вспомните известные ранее единицы измерения площади (1 мм², 1 см², 1 дм², 1 м², 1 км², 1 ар, 1 га), равносильность этих единиц:

1) 1 см² = 100 мм²;

2) 1 дм² = 100 см² = 10 000 мм²;

3) 1 м² = 100 дм² = 10 000 см² = 1 000 000 мм²;

4) 1 ар = 100 м²;

5) 1 га = 100 ар = 10 000 м²;

6) 1 км² = 100 га;

7) 1 см² = 0, 01 дм²;

8) 1 м² = 0, 000001 км²;

9) 1 дм² = 0, 01 м²;

10) 1 ар = 0, 01 га;

11) 1 м² = 0, 01 ар = 0, 0001 га.

2. Проверка задания на дом

Опрос по домашнему заданию, которое заключалось в следующем: узнайте из литературы, как появилась необходимость измерения площадей в древности в различных странах (Египте, Китае, Индии, России и др.); приведите примеры необходимости вычисления площадей в настоящее время.

1 -й ученик. Геометрия возникла ещё в глубокой древности в связи с практическими потребностями человека. Измерения расстояний, изготовление орудий труда определённых размеров, нахождение площади земельного участка, вместимость сосудов и т. д. Слово геометрия – греческого происхождения (гео – земля, метрио – меряю) и означает землемерие.

2 -й ученик. Ещё 4-5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Для вычисления площади произвольного четырёхугольника древние египтяне четыре тысячи лет назад использовали формулу

где - длины сторон четырёхугольника. Эта формула верна только для прямоугольника.

3 -й ученик. Практический характер имела и древнеиндийская геометрия, развитие которой связано как с повседневными жизненными потребностями, так и с религиозными обрядами, с культом жертвоприношения. В труде «Сульва-Сутра» встечаются вопросы вычисления площадей, деления площадей прямоугольников, квадратов и трапеций с помощью прямых.

4 -й ученик. В произведении «Патиганита» - руководству по арифметике и измерению фигур – предложена формула:

где - полупериметр, - стороны четырёхугольника. Эта приближённая формула верна только для вычисления площадей вписанных четырёхугольников.

5 -й ученик. В древней Руси уже в XVI в. нужды землемерия, строительства, военного дела привели к созданию сочинений по геометрии. Первое дошедшее до нас сочинение такого рода, называется «О земном верстании», написано при Иване IV в 1556 г. В этой рукописи все геометрические сведения сводятся к вычислению площадей квадрата, прямоугольника, треугольника и равнобочной трапеции.

6 -й ученик. Практическая необходимость измерения площадей возникает в быту и на производстве и в настоящее время. Так, например, площадь зеркала водохранилища нужно знать проектировщикам, чтобы определить, как будет испаряться вода из заполненного водохранилища.

7 -й ученик. Площадь поверхности стен помещения нужно знать строителям до того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев и кафеля.

8 -й ученик. Площадь поверхности дороги нужно знать при расчёте необходимого для её покрытия количества асфальта.

3. Объяснение нового материала

Свойства площадей

Будем рассматривать площадь многоугольника. Можно сказать, что площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

1 см² – площадь квадрата со стороной 1 см;

1 м² – площадь квадрата со стороной 1 м и т. д.

Площадь многоугольника – это положительное число, которое показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.

На плакатах рисунки

Нецелые квадраты со стороной 1 см можно разбить на квадраты с ещё меньшей длиной стороны. Любой многоугольник можно разбить на квадраты и треугольники. Но такой способ измерения площадей неудобен. Существуют формулы для вычисления площадей, которые учитывают следующие свойства площадей.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Докажем третье свойство.

Случай 1. Длина стороны квадрата выражается целым числом ед. Разобьём сторону квадрата на равных частей. Получим квадратиков со стороной 1 ед². Площадь квадрата равна ед.² = ед.².

Случай 2. Длина стороны выражается дробным числом

где - натуральные числа.

Примем -ю долю линейной единицы за новую единицу длины. Тогда площадь квадратика равна , а всего квадрат разбит на малых квадратиков. Площадь квадрата равна

Случай 3. Дина стороны квадрата выражается иррациональным числом или бесконечной десятичной непереодической дробью, - бесконечная десятичная дробь.

Имеем:

, , ,

(На доске плакат с рисунком и выводом формулы.)

Будем неограниченно увеличивать число . Тогда число становится сколь угодно малым числом, значит число сколь угодно мало отличается от числа . Следовательно, число сколь угодно мало отличается от числа ;

4. Решение задач

(Условия задач заранее написаны на доске.)

1. (Устно.) вычислите площадь сечения дорожной трубы, изображённой на рисунке.

м².

2. Железная проволока, сечение которой 1 мм², разрывается под действием груза в 40 кг. Какой нагрузкой разорвётся железный стержень, поперечное сечение которого – квадрат со стороной 24 мм.

Решение. 1. Найдём площадь поперечного сечения:

24 24 = 576 (мм²).

2. Найдём массу груза, от которого разорвётся стержень:

576 40 = 23 040 (кг).

3. Стороны двух участков земли квадратной формы соответственно равны 120 м и 50 м. Определите сторону квадратного участка земли, равновеликого двум участкам.

1) 120² = 14 400 (м²) – площадь первого участка.

2) 50² = 2500 (м²) – площадь второго участка.

3) 14 400 + 2500 = 16 900 (м²) – площадь двух участков.

4) 16 900 = 130² – 130 – сторона квадратного участка, равновеликого первым двум участкам.

4. Площадь квадратного участка земли (масштаб 1: 10 000) равна

552, 25 м². Найдите площадь участка в натуре.

Решение. Имеем:

552, 25 × 10 000 = 5 522 500 (см²) = 552, 25 (м²) – площадь участка в натуре.

5. Задание на дом

1. Определите площадь квадрата по его диагонали .