Математическая теория

Постановка математической задачи

 

Сформулируем математическую модель.

Целевая функция:            

 

Формула универсальна и позволяет рассчитать значение конкурентоспособности для любой фирмы s из всех фирм, представленных на рынке (общее число фирм – r).

Нам необходимо увеличить коэффициент конкурентоспособности. Возможно, не удастся найти его максимальное значение, но наша задача сделать его как можно больше.

Распишем подробнее основные переменные целевой функции:

 

,     ;

,   ,            ;

,       .

Управляемыми переменными являются: , , .

Ограничения:

 

,        ;

,       ,         .

 

Дополнительное условие:

 

 

Функция  показывает каково будет распределение средств (у. е.) по различным параметрам , , :

 – для улучшения технических характеристик ;

 – для понижения экономических параметров ;

 – для достижения требуемых норм              .

-число технических характеристик,

- число экономических характеристик,

- число нормативных параметров,

 – общее число фирм на рынке.

Классификация задачи

 

Классифицируем поставленную математическую модель.

Практические задачи оптимизации, которые сводятся к математическим моделям вида: , , где множество допустимых значений определяется ограничениями-равенствами или ограничениями-неравенствами  или , при -заданному множеству индексов, то они называются задачами математического программирования.

Если функции и - нелинейные и все управляемые переменные неотрицательны , то это задача нелинейного программирования. В нашей задаче существует особенность целевой функции – она является дробно-линейной функцией, а значит, мы рассматриваем задачу дробно-линейного программирования.

Такая задача сводится к задаче линейного программирования. Существует несколько наиболее часто используемых методов для решения задач линейного программирования, к ним относится графический метод, симплекс-таблица и различные разновидности симплекс-метода.

Графический метод неприменим из-за количества управляемых переменных, их слишком много. Допустимым множеством  будет являться многогранник в мерном пространстве. Основная черта – наглядность – теряется.

Затруднения использования симплекс-метода связанны не только с той же проблемой, что у графического метода, к ней еще прибавляется сложность приведения к каноническому виду, представления в симплекс-таблицах.

Изменение управляемых переменных задано дискретным рядом значений, а значит, можем классифицировать поставленную задачу, как дискретную задачу оптимизации.

Часто применимый для таких задач метод ветвей и границ.