Математическая постановка задачи

Решим следующую задачу. Обеспечить заданный объем добычи нефтегазового конденсата па каждом временном интервале с минимальными затратами па этом интервале.

Для этой задачи сформируем целевую функцию.

Для каждого месторождения п Î (l, 2,..., N) введем в рассмотрение вариант финансирования j _пt Î (1 _nt,, 2_nt,,..., J_пt) на временном интервале t Î {l, 2,..., T}. Каждый вариант j_nt определяет объем финансирования X_jnt и соответствующий объем добычи V_jпt на месторождении п за период времени t. Полагаем J_пt ≥ 1 при конечности общего числа вариантов финансирования.

Пусть h_jnt = 1, если вариант) j_пt принимается для финансирования месторождения п на временном интервале t, иначе h_jnt = 0.

Тогда задача минимизации общих расходов на временном интервале t имеет вид

, (1)

 

где минимум ищется среди всех возможных вариантов финансирования по каждому проекту j_nt Î(1_nt, 2_nt,…J_nt).

Решение задачи (1) - совокупность всех индексов h_jnt, должно удовлетворять следующим ограничениям:

 

, (2)

 

где V_t - лимит общей добычи нефти по всем месторождениям в каждом интервале времени t;

 

 (3)

 

(т.е. для каждого месторождения в плановом периоде используется только один вариант инвестирования).

Метод решения

 

1) Для решения задачи (1-3) условно будем считать, что на временном интервале t объем финансирования St изменяется от

 

(ьшт _обт Ч_оте ) до ()

 

с достаточно малым приращением D

2) На первом шаге алгоритма запишем все имеющиеся варианты инвестирования и добычи для каждого месторождения в виде дискретной функции

 

 

4) Далее для всех Х из диапазона

 

 

5) проводим рекуррентные вычисления похожие на вычисления функции Беллмана, но с учетом ограничения (3)

 

В(Х) = max(F(x)+B(X - х)), (4)

 

где ч = 0,…,X.

Можно показать, что выражение (4) дает абсолютный оптимум добычи на ресурсе Х, если при его вычислении выполнено условие (3), Т.е. инвестирование в месторождение либо производится только по одному из допустимых вариантов, либо вообще не производится.

Действительно, предположим, что существует В'(Х)>В(Х), где В(Х) найдено по (4). По условиям вычислений В(Х- х) является абсолютным максимумом. Исходя из нашего предположения, это означает, что существует F'(x), такое, что

 

F'(x) + В(Х- х) = В '(Х) > В(Х) = max(F(x) + В(Х - х)),

 

т. е. F'(х) > maxF(x), что невозможно.

Для выполнения условия (3) и сохранения глобального оптимума при каждом вычислении по (4) производится проверка участия месторождения, соответствующего добыче F(x) в суммарной добыче определяемой В(Х - х). Если месторождение уже участвует при получении результата В(Х - х), то проверяется, увеличивает ли замена варианта инвестирования в это месторождение значение функционала В(Х) или нет. Если да, то производим замену варианта. Если нет, то переходим к другому месторождению, для которого возможны инвестиции в размере Х.

Для каждого значения инвестиций Х запоминается набор месторождений и соответствующих вариантов инвестирования, дающих оптимальное значение.

Если для каждого месторождения определен только один вариант инвестиций, то процедура автоматически упрощается, так как проверяется только «повторное» инвестирование в месторождение.

Таким образом, если компания планирует добыть определенный объем нефти, который реален по геологическим условиям, а в проектах инвестиций месторождений есть вариант, предусматривающий максимальную добычу нефти, то плановый объем добычи будет среди получаемых по (4) вариантов или близок к некоторым из них. Более того, имея картину оптимальных объемов добычи нефти при разных вариантах финансирования, руководство может просто выбирать подходящий объем и тут же иметь перед глазами соответствующую оптимальную инвестиционную программу с учетом всех месторождений для взятого временного интервала t.