Основная теорема теории аффинных преобразований

Докажем следующую теорему:

Существует одно и только одно аффинное преобразование, переводящее произвольные три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, в три произвольные точки А’, B', C', также не лежащие на одной прямой. [3]

Доказать единственность аффинного преобразования можно показав, что коэффициенты преобразования a, b, и c выражаются однозначно через координаты точек А(), В(), С()  и A'(a’), B’(b’), C’(c’).

Так как точки A', B', C' являются образами точек А, В и С, то их координаты можно выразить следующим образом:

Решим эту систему относительно коэффициентов преобразования a, b, c, получим их выражение через координаты точек А, В, С и A', B’, C’:

Таким образом, коэффициенты преобразования находятся однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования.