Формаційні властивості нильпотентних алгебр

Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].

Нагадаємо, що для й – конгруенції на алгебрі – говорять, що централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) із завжди треба

2) для будь-якого елемента завжди виконується

3) якщо , те

Очевидно, що для будь-якої конгруенції на алгебрі конгруенція централізує . У цьому випадку .

Помітимо, що якщо й – конгруенції на групі й , те для нормальних підгруп і групи й будь-яких елементів , мають місце наступні співвідношення:

Тоді

і в силу транзитивності із цих співвідношень треба, що

По визначенню 2.1 одержуємо, що

Наступне визначення центральності належить Сміту.

Визначення 3.1. , якщо існує така , що для будь-якого ,

Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1. означає умову 1) з визначення 2.1. И навпаки, умова 1) означає, що .

Нехай і – конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) треба, що для будь-якого елемента ,

Доведемо зворотне включення.

Нехай . Тому що , те з умови 2) треба, що

У силу транзитивності маємо

і, виходить, у силу умови 3) . Отже

Покажемо, що з визначення 3.1. випливають умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо , те

Це означає .

Для одержуємо, що

звідки .

Відповідно до роботи

Визначення 3.2. Алгебра називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенції

називаний центральним, що

Лема 3.1. Будь-яка підалгебра нильпотентної алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай – підалгебра нильпотентной алгебри . Тому що має центральний ряд

те для кожного на алгебрі існує конгруенція задовольняючому визначенню 2.1. А саме, з

завжди треба

1) для будь-якого елемента

завжди виконується

2) якщо

те

Помітимо, що надалі, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що

тоді й тільки тоді, коли

Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі :

де

Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі для кожного визначимо бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

Покажемо, що – конгруенція на алгебрі . Нехай

Тоді

і для кожної -арної операції маємо

Отже,

Отже, – підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента має місце

Таким чином, відповідно до леми 2.3, – конгруенція на алгебрі .

Нехай

Тоді й тому що ,

те

Якщо , то й, виходить,

Нехай, нарешті,

Тоді

і тому що

Отже,

Отже, конгруенція задовольняє визначенню 2.1. для кожного . Лема доведена.

Лема 3.2. Нехай і – конгруенції на алгебрі ,

і – ізоморфізм, певний на алгебрі .

Тоді для будь-якого елемента відображення

визначає ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому

Доказ:

Очевидно, що – ізоморфізм алгебри на алгебру , при якому конгруенції й ізоморфні відповідно конгруенціям і .

Тому що , те існує конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм алебри на алгебру індуцирує у свою чергу ізоморфізм алгебри на алгебру такий, що

для будь-яких елементів , .

Але тоді легко перевірити, що – конгруенція на алгебрі ізоморфна конгруенції . Це й означає, що

Лема доведена.

Лема 3.3. Фактор-Алгебра нильпотентной алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай

центральний ряд алгебри . Покажемо, що для будь-якої конгруенції на алгебрі ряд

є центральним, тобто

для кожного . У силу відомих теорем про ізоморфизмах для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11) і леми 3.2., досить показати, що

Нехай – конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , що

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що – конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

тоді зі співвідношення

треба, що

Тому що

те . Отже,

Нехай . Тоді для деякого елемента , і .

Таким чином,

отже,

Тому що , те це означає, що

Нехай

де

Покажемо, що . У силу визначення найдуться , що

При цьому мають місце наступні співвідношення:

Отже,

Але тоді по визначенню 3.2.

А тому що , те

Тепер з того, що

треба, що

Лема доведена.

Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.

Лема 3.4. Нехай – конгруенція на алгебрі , . Полога

тоді й тільки тоді, коли для кожного , одержуємо конгруенцію на алгебрі .

Лема 3.5. Прямий добуток кінцевого числа нильпотентних алгебр нильпотентне.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо , і – нильпотентне алгебри, те – нильпотентна алгебра.

Нехай

центральні ряди алгебр і відповідно. Якщо , те, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри довжини . Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну .

Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі в такий спосіб:

де тоді й тільки тоді, коли , , .

Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто для довільного . Тому що

те на алгебрах і відповідно задані конгруенції й , що задовольняють визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення на алгебрі в такий спосіб:

і тільки тоді, коли

Легко безпосередньою перевіркою переконатися, що – конгруенція на алгебрі . Залишилося показати, що задовольняє визначенню 2.1.

Нехай має місце

Тоді відповідно до уведеного визначення

звідки треба, що

т.е.

Нехай

Це означає

Але тоді

Отже,

Нехай має місце

Це означає, що

Виходить, і , тобто . Лема, доведена.

Як відомо, спадкоємною формацією називається клас алгебр, замкнутих відносно фактор-алгебр, підпрямих добутків і відносно підалгебр.

Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 7 Клас всіх нильпотентних алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Визначення 3.3. -арна група називається нильпотентной, якщо вона має такий нормальний ряд

що

для кожного .

Тому що конгруенції на -арних групах попарно перестановочні (дивися, наприклад,), те це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.

Лема 3.6. Нехай – -арна група. і – нормальні підгрупи групи й .

Тоді , де й конгруенції, індуковані відповідно підгрупами й на групі .

Доказ:

Підгрупи й індуцирують на групі конгруенції й , обумовлені в такий спосіб:

– -арна операція.

Визначимо на бінарне відношення в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів і з і відповідно, що

Покажемо, що – підалгебра алгебри . Для скорочення запису будемо надалі опускати -арний оператор .

Нехай

Тому що , те

Тому в силу того, що ,

Отже, – підалгебра алгебри .

Нехай – нейтральна послідовність групи , а, отже, і групи . Тоді з визначення бінарного відношення треба, що

Тим самим довело, що – конгруенція на .

Тo, що задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лема доведена.

Лема 3.7. Нехай – нильпотентна -арна група. Тоді задовольняє визначенню 2.1.

Доказ:

Тому що для кожного , те індуцирує конгруенцію на . У такий спосіб володіє поруч конгруенції, що у силу леми 3.6 буде центральним. Лема доведена.

Зокрема, для довільної бінарної групи звідси треба, що нильпотентна тоді й тільки тоді, коли, задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатує той факт, що клас всіх нильпотентних груп утворить спадкоємну формацію.