Формаційні властивості нильпотентних алгебр

 

Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].

Нагадаємо, що для  й  – конгруенції на алгебрі  – говорять, що  централізує  (записується: ), якщо на  існує така конгруенція , що:

 

1) із  завжди треба

 

 

2) для будь-якого елемента  завжди виконується

 

3) якщо , те

 

 

Очевидно, що для будь-якої конгруенції  на алгебрі  конгруенція  централізує . У цьому випадку .

Помітимо, що якщо  й  – конгруенції на групі  й , те для нормальних підгруп  і  групи  й будь-яких елементів ,  мають місце наступні співвідношення:

 

 

Тоді

 

 

і в силу транзитивності  із цих співвідношень треба, що

 

 

По визначенню 2.1 одержуємо, що

 

 

Наступне визначення центральності належить Сміту.

Визначення 3.1. , якщо існує така , що для будь-якого ,

 

 

Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1.  означає умову 1) з визначення 2.1. И навпаки, умова 1) означає, що .

Нехай  і  – конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) треба, що для будь-якого елемента ,

 

 

Доведемо зворотне включення.

Нехай . Тому що , те з умови 2) треба, що

 

 

У силу транзитивності  маємо

 

 

і, виходить, у силу умови 3) . Отже

 

 

Покажемо, що з визначення 3.1. випливають умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо , те

 

Це означає .

Для  одержуємо, що

 

 

звідки .

Відповідно до роботи

Визначення 3.2. Алгебра  називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенції

 

 

називаний центральним, що

 

 

Лема 3.1. Будь-яка підалгебра нильпотентної алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай  – підалгебра нильпотентной алгебри . Тому що  має центральний ряд

 

 

те для кожного  на алгебрі  існує конгруенція  задовольняючому визначенню 2.1. А саме, з

 

 

завжди треба

 

 

1) для будь-якого елемента

 

 

завжди виконується

 

 

2) якщо

 

 

и

 

 

те

 

 

Помітимо, що надалі, для скорочення запису, будемо враховувати той факт, що

 

тоді й тільки тоді, коли

 

 

Побудуємо наступний ряд конгруенції на алгебрі :

 

 

де

 

 

Покажемо, що цей ряд є центральним. Для цього на алгебрі  для кожного  визначимо бінарне відношення  в такий спосіб:

 

 

тоді й тільки тоді, коли

 

 

Покажемо, що  – конгруенція на алгебрі . Нехай

 

 

Тоді

 

 

і для кожної -арної операції  маємо

 

 

Отже,

 

 

Отже,  – підалгебра алгебри .

Очевидно, що для будь-якого елемента  має місце

 

 

Таким чином, відповідно до леми 2.3,  – конгруенція на алгебрі .

Нехай

 

 

Тоді  й тому що ,

те

 

Якщо , то  й, виходить,

 

 

 

Нехай, нарешті,

 

 

Тоді

 

 

і тому що

 

 

Отже,

 

 

Отже, конгруенція  задовольняє визначенню 2.1. для кожного . Лема доведена.

Лема 3.2. Нехай  і  – конгруенції на алгебрі ,

 

і  – ізоморфізм, певний на алгебрі .

Тоді для будь-якого елемента  відображення

 

 

визначає ізоморфізм алгебри  на алгебру , при якому

 

 

Доказ:

Очевидно, що  – ізоморфізм алгебри  на алгебру , при якому конгруенції  й  ізоморфні відповідно конгруенціям  і .

Тому що , те існує конгруенція  на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Ізоморфізм  алебри  на алгебру  індуцирує у свою чергу ізоморфізм  алгебри  на алгебру  такий, що

 

 

для будь-яких елементів , .

Але тоді легко перевірити, що  – конгруенція на алгебрі  ізоморфна конгруенції . Це й означає, що

 

 

Лема доведена.

Лема 3.3. Фактор-Алгебра нильпотентной алгебри нильпотентна.

 

Доказ:

Нехай

 

 

центральний ряд алгебри . Покажемо, що для будь-якої конгруенції  на алгебрі  ряд

 

 

є центральним, тобто

 

 

для кожного . У силу відомих теорем про ізоморфизмах для алгебр (див., наприклад, теореми II.3.7, II.3.11) і леми 3.2., досить показати, що

 

 

Нехай  – конгруенція на алгебрі , що задовольняє визначенню 2.1. Визначимо бінарне відношення  на алгебрі  в такий спосіб

 

 

тоді й тільки тоді, коли найдуться такі елементи , що

 

 

Безпосередньою перевіркою переконуємося, що  – конгруенція на алгебрі .

У такий спосіб залишилося показати, що  задовольняє визначенню 2.1.

Нехай

 

 

тоді зі співвідношення

 

 

треба, що

 

 

Тому що

 

те . Отже,

 

Нехай . Тоді для деякого елемента ,  і .

Таким чином,

 

 

отже,

 

 

Тому що , те це означає, що

 

 

Нехай

 

 

де

 

Покажемо, що . У силу визначення  найдуться , що

 

 

При цьому мають місце наступні співвідношення:

 

 

Отже,

 

 

Але тоді по визначенню 3.2.

 

 

А тому що , те

 

 

Тепер з того, що

 

треба, що

 

 

Лема доведена.

Доказ наступного результату здійснюється простою перевіркою.

Лема 3.4. Нехай  – конгруенція на алгебрі , . Полога

 

 

тоді й тільки тоді, коли  для кожного , одержуємо конгруенцію  на алгебрі .

Лема 3.5. Прямий добуток кінцевого числа нильпотентних алгебр нильпотентне.

Доказ:

Очевидно, досить показати, що якщо ,  і  – нильпотентне алгебри, те  – нильпотентна алгебра.

Нехай

 

 

центральні ряди алгебр  і  відповідно. Якщо , те, ущільнивши перший ряд повторюваними членами, одержимо центральний ряд алгебри  довжини . Таким чином, можна вважати, що ці ряди мають однакову довжину, рівну .

Побудуємо тепер ряд конгруенції на алгебрі  в такий спосіб:

 

 

де  тоді й тільки тоді, коли , , .

Покажемо, що останній ряд є центральним, тобто  для довільного . Тому що

 

 

те на алгебрах  і  відповідно задані конгруенції  й , що задовольняють визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення  на алгебрі  в такий спосіб:

 

 

і тільки тоді, коли

 

 

и

 

Легко безпосередньою перевіркою переконатися, що  – конгруенція на алгебрі . Залишилося показати, що  задовольняє визначенню 2.1.

Нехай має місце

 

 

Тоді відповідно до уведеного визначення

 

 

звідки треба, що

 

 

т.е.

 

 

Нехай

 

 

Це означає

 

Але тоді

 

 

и

 

 

Отже,

 

Нехай має місце

 

 

Це означає, що

 

 

 

Виходить,  і , тобто . Лема, доведена.

Як відомо, спадкоємною формацією називається клас алгебр, замкнутих відносно фактор-алгебр, підпрямих добутків і відносно підалгебр.

Результати, отримані в лемах 3.1, 3.3, 3.5 можна сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 7 Клас всіх нильпотентних алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.

Визначення 3.3. -арна група  називається нильпотентной, якщо вона має такий нормальний ряд

 

 

що

 

 

и

 

 

для кожного .

Тому що конгруенції на -арних групах попарно перестановочні (дивися, наприклад,), те це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.

Лема 3.6. Нехай  – -арна група.  і  – нормальні підгрупи групи  й .

Тоді , де  й  конгруенції, індуковані відповідно підгрупами  й  на групі .

Доказ:

Підгрупи  й  індуцирують на групі  конгруенції  й , обумовлені в такий спосіб:

 

 

 – -арна операція.

Визначимо на  бінарне відношення  в такий спосіб:

 

 

тоді й тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів  і  з  і  відповідно, що

 

Покажемо, що  – підалгебра алгебри . Для скорочення запису будемо надалі опускати -арний оператор .

Нехай

 

 

Тому що , те

 

 

Тому що , те

 

 

Тому в силу того, що ,

 

 

Отже,  – підалгебра алгебри .

Нехай  – нейтральна послідовність групи , а, отже, і групи . Тоді з визначення бінарного відношення  треба, що

 

 

Тим самим довело, що  – конгруенція на .

Тo, що  задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лема доведена.

Лема 3.7. Нехай  – нильпотентна -арна група. Тоді  задовольняє визначенню 2.1.

Доказ:

Тому що  для кожного , те  індуцирує конгруенцію  на . У такий спосіб  володіє поруч конгруенції, що у силу леми 3.6 буде центральним. Лема доведена.

Зокрема, для довільної бінарної групи  звідси треба, що  нильпотентна тоді й тільки тоді, коли,  задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатує той факт, що клас всіх нильпотентних груп утворить спадкоємну формацію.