2020-01-14
73
Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Контрольная работа
По дисциплине: «Математика»
Вариант 1
Выполнил: студент 1 курса группы БУА-5
Проверил:___________________________
Тюмень 2007 год
Содержание
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного
переменного……………………………………………………………………2
«Дифференциальное исчисление функций и его приложение……………...6
«Интегральное исчисление функции одного переменного»……………….11
«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного»
1. Вычислить предел: 
.
Решение.
При 
имеем
Следовательно,
.
2. Найти асимптоты функции: 
.
Решение.
Очевидно, что функция не определена при 
.
Отсюда получаем, что
Следовательно, 
– вертикальная асимптота.
Теперь найдем наклонные асимптоты.
.
Следовательно, 
– горизонтальная асимптота при 
.
3. Определить глобальные экстремумы: 
при 
.
Решение.
Известно, что глобальные экстремумы функции на отрезке достигаются или в критических точках, принадлежащих отрезку, или на концах отрезка. Поэтому сначала находим 
.
А затем находим критические точки.
.
Теперь найдем значение функции на концах отрезка.
.
Сравнивая значения, получаем:
4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции: 
.
Решение.
Сначала находим .
.
Затем находим критические точки.
.
| x | 
| 0 | 
| 1 | 
| 3 | 
|
|
| + | 0 | + | 0 | – | 0 | + |
| возрастает | нет экстр. | возрастает | max | убывает | min | возрастает |
Отсюда следует, что функция возрастает при 
, убывает при 
.
Точка 
– локальный максимум.
Точка 
– локальный минимум.
5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции: 
.
Решение.
Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, найдем вторую производную функции.
.
.
.
| x | 
| 2 | 
|
| – | 0 | + |
| выпуклая | перегиб | вогнутая |
Отсюда следует, что функция
выпуклая при 
,
вогнутая при 
.
Точка 
– точка перегиба.
«Дифференциальное исчисление функций и его приложение»
1. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции 
.
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Поскольку 
, функция не является четной или нечетной.
3) Точки пересечения с осями:
а) с оx: 
б) с oy .
4) Асимптоты.
а) 
.
Следовательно, 
– вертикальная асимптота.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда получаем, что
– наклонная асимптота при 
.
5) Критические точки
К тому же 
не существует при 
.
6) 
К тому же 
не существует при
| x | 
| 0 | 
| 2 | 
| 4 | 
|
| + | 0 | – | Не сущ. | – | 0 | + |
| – | – | – | Не сущ. | + | + | + |
| y | возрастает выпуклая | max
| убывает выпуклая | не сущ. | убывает вогнутая | min
| возрастает вогнутая |
Эскиз графика функции 
2. Найти локальные экстремумы функции 
.
Решение.
Сначала найдем частные производные
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
То есть мы получили две критические точки
. Далее проведем исследование этих точек.
Для чего найдем предварительно частные производные второго порядка
Для точки 
:
.
Следовательно, точка не является точкой экстремума.
Для точки 
:
.
Следовательно, точка 
не является точкой экстремума.
Вывод – локальных экстремумов у функции 
нет.
3. Определить экстремумы функции 
, если 
.
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
И исследуем ее
То есть мы получили две критические точки: 
.
В силу условия 
нам подходит только точка 
.
Поэтому будем исследовать эту точку
Вычислим частные производные второго порядка:
Отсюда получаем, что
Теперь продифференцируем уравнение связи
Для точки 
получаем 
.
Следовательно, 
То есть мы получили положительно определенную квадратичную форму.
Следовательно, является точкой условного локального минимума.
«Интегральное исчисление функции одного переменного»
Найти неопределенный интеграл
1. 
.
Решение.
2. 
.
Решение.
3. 
.
Решение.
4. Вычислить 
.
Решение.
