Регрессионный анализ трехмерной модели

Для исследования статистической зависимости одного результирующего признака от двух и более факторных признаков в Excel есть две возможности: инструмент Регрессия для случая линейной статистической зависимости и непосредственное применение метода наименьших квадратов в случае зависимости любого вида.

Алгоритм применения инструмента Регрессия отличается от описанного выше для случая двумерной модели только количеством исходных данных, размещаемых на рабочем листе и соответственно диапазоном входных параметров, вводимом в диалоговом окне Регрессия. Выходные данные также отличаются только количеством информации при сохранении их смысла.

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,762322
R-квадрат	0,581135
Нормированный R-квадрат	0,563682
Стандартная ошибка	50,23613
Наблюдения	51
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	168064,8	84032,39	33,2977	8,51E-10
Остаток	48	121136,1	2523,668
Итого	50	289200,9
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	225,7848	27,41026	8,237239	9,67E-11	170,6728	280,8968
X8	23,38168	10,96783	2,131842	0,038166	1,329382	45,43398
X4	-503,93	69,72031	-7,22788	3,29E-09	-644,112	-363,748

Рис.8. Регрессия Y2 на X4,X8.

На рис.8 приведены результаты применения инструмента Регрессия к статистическим данным по признакам X4–X8–Y2.

Оценка линейной функции регрессии y₂ на x₄,x₈ имеет вид:

 

Значение F–критерия F_расч =33,2977, что значительно больше F_кр = 3,18 Это означает, что оценка достаточно хорошо согласуется с данными наблюдений. Это подтверждается и достаточно высоким значением коэффициента детерминации R² = 0,5811351. Расчетные значения t –статистики для свободного члена и коэффициента при x₄ больше t_кр = 2,009, что подтверждает их значимость. Для коэффициента при x₈ t_расч близко к критическому значению, что ставит под сомнение его значимость.

 

	A	B	C	D	E	F	H	I
1	X4	X8	Y2	P(x)	ε	ε2	P2 (x)	ε22
2	0,42	0,66	13,6	=A$56+B$56*A2+C$56* B2	=C2-D2	=E2^2	=A$59+B$59*A2+C$59*B2+D$59*A2^2+E$59*B2^2+F$59*A2*B2	=(C2-H2)^2
3	0,51	1,23	15	=A$56+B$56*A3+C$56* B3	=C3-D3	=E3^2	=A$59+B$59*A3+C$59*B3+D$59*A3^2+E$59*B3^2+F$59*A3*B3	=(C3-H3)^2
4	0,38	1,04	18,1	=A$56+B$56*A4+C$56* B4	=C4-D4	=E4^2	=A$59+B$59*A4+C$59*B4+D$59*A4^2+E$59*B4^2+F$59*A4*B4	=(C4-H4)^2
5	0,51	0,24	21,9	=A$56+B$56*A5+C$56* B5	=C5-D5	=E5^2	=A$59+B$59*A5+C$59*B5+D$59*A5^2+E$59*B5^2+F$59*A5*B5	=(C5-H5)^2
6	0,43	2,13	26,8	=A$56+B$56*A6+C$56* B6	=C6-D6	=E6^2	=A$59+B$59*A6+C$59*B6+D$59*A6^2+E$59*B6^2+F$59*A6*B6	=(C6-H6)^2
7	0,43	0,84	30,1	=A$56+B$56*A7+C$56* B7	=C7-D7	=E7^2	=A$59+B$59*A7+C$59*B7+D$59*A7^2+E$59*B7^2+F$59*A7*B7	=(C7-H7)^2
8	0,34	0,68	32,3	=A$56+B$56*A8+C$56* B8	=C8-D8	=E8^2	=A$59+B$59*A8+C$59*B8+D$59*A8^2+E$59*B8^2+F$59*A8*B8	=(C8-H8)^2
9	0,18	1,06	34,2	=A$56+B$56*A9+C$56* B9	=C9-D9	=E9^2	=A$59+B$59*A9+C$59*B9+D$59*A9^2+E$59*B9^2+F$59*A9*B9	=(C9-H9)^2

Рис.9. Размещение информации для МНК.

 

В случае нелинейной регрессии специального инструмента в Excel нет, необходимо выполнять действия, предусмотренные методом наименьших квадратов(МНК), используя вычислительные возможности Excel. Расположение исходных данных и формул в таблице Excel приведено на рис.9.

Все формулы вводятся только в верхнюю строку, а затем копируются по всему столбцу. На рис.9 приведены расчеты поиска оценок линейной P(x) и квадратичной P₂ (x) функции регрессии. Параметры функции регрессии β_j расположены в ячейках A56 ч C56 для линейной зависимости и в ячейках A59 ч F59 для квадратичной зависимости (см. рис.10). Ячейки F53 и I53 содержат значения функций Q – суммы квадратов отклонений.

 

	A	B	C	D	E	F	H	I
50	0,02	1,14	264,8	=A$56+ B$56*A50+ C$56*B50	=C50-D50	=E50^2	=A$59+B$59*A50+ C$59*B50+D$59*A50^2+E$59*B50^2+F$59*A50*B50	=(C50-H50)^2
51	0,16	4,44	267,3	=A$56+ B$56*A51+ C$56*B51	=C51-D51	=E51^2	=A$59+B$59*A51+ C$59*B51+D$59*A51^2+E$59*B51^2+F$59*A51*B51	=(C51-H51)^2
52	0,01	1,27	355,6	=A$56+ B$56*A52+ C$56*B52	=C52-D52	=E52^2	=A$59+B$59*A52+ C$59*B52+D$59*A52^2+E$59*B52^2+F$59*A52*B52	=(C52-H52)^2
53					Q =	=СУММ(F2: F52)	Q2 =	=СУММ(I2: I52)
54					σ =	=КОРЕНЬ(F53/51)	σ2 =	=КОРЕНЬ(I53/51)
55	β0	β1	β2
56	225,78481426	-503, 9302	23,381653963
57
58	β0	β1	β2	β3	β4	β5
59	247,96413983	-930, 357130	73,537978008	1009,39006400157	-4,446 88827	-140,188 41146628

Рис.10. Размещение информации для Поиска решения.

 

Значения β_j находятся с помощью надстройки Excel Поиск решения по такому алгоритму:

– установить курсор на ячейке, содержащей значение функции Q (Q₂);

– Сервис – Поиск решения;

– в появившемся диалоговом окне Поиск решения (рис.11) проверить, стоит ли в поле Установить целевую ячейку адрес функции Q (Q₂), и если нет, то ввести его;

– в поле Равной щелкнуть пункт минимальному значению;

– в поле Изменяя ячейки ввести диапазон ячеек, которые отведены для значений искомых параметров ;

– щелкнуть по кнопке Выполнить;

– если решение найдено, сообщение об этом появится в диалоговом окне, где нужно щелкнуть по пункту Сохранить найденное решение. Значения  найдены и находятся в отведенных для них ячейках (рис.10).

– Значение суммы квадратов отклонений найденной оценки функции регрессии от наблюденных значений результирующего признака, т.е. функции Q для линейной регрессии и функции Q₂ для квадратичной регрессии, находятся в ячейках F53 и I53, линейная величина отклонений – в ячейке F54 и в ячейке I54.

 

Рис.11. Ввод информации для Поиска решения.

 

Таким образом, коэффициенты линейной функции регрессии P(x) следует считывать из ячеек A56,B56 и С56; коэффициенты нелинейной функции регрессии P₂(x) – из ячеек A59  F59. Для рассматриваемого примера линейная функция регрессии совпадает с полученной с помощью инструмента Регрессия, а квадратичная

P₂(x) = 247,9641 – 930,3571x₄ + 73,538x₈ + 1009,39x₄² – 4,44689x₈² – 140,1884x₄x₈

 

Проверка значимости полученной квадратичной оценки уравнения регрессии выполним так. Определим коэффициент корреляции значений эмпирической функции регрессии и выборочного среднего RyP₂(x). Как видно из рис.12, коэффициент корреляции достаточно большой (0,80921). Выполним еще одну проверку значимости P₂(x) с помощью коэффициента детерминации, для чего необходимо вычислить значения S_ост, S_факт.

Размещение нужных формул приведено на рис.12, а промежуточные результаты и значения коэффициента детерминации ниже. Поскольку коэффициент детерминации для случая квадратичной регрессии значительно превосходит коэффициент детерминации для случая линейной регрессии и имеет достаточно большое значение (0,472867), делаем вывод, что квадратичная регрессия достаточно хорошо согласуется со статистическими данными.

Выполним оценку значимости полученного приближения функции в целом с помощью критерия Фишера. Для этого найдем значения критерия Фишера по выборке для рассматриваемых двух видов зависимости (см. рис.12 и 13).

 

	R	S
1	RyP(x)	RyP2(x)
2	=КОРРЕЛ(C2:C52;D2:D52)	=КОРРЕЛ(C2:C52;H2:H52)
3	Sост	Sост
4
5	=F53/48	=I53/45
6 7	Sфакт	Sфакт
8
9	=L53/48	=N53/45
10	R2	R22
11	=1-R5/ (R9 + R5)	=1-S5/ (S9 + S5)
12	Fрасч	F2расч
13	=R11*(51-2-1)/(1-R11)/2	=S11*(51-2-1)/(1-S11)/2
14
15	Fкрит =	3,205

 

Рис.12.Расчетные формулы

 

Как видно, расчетное значение F-критерия для квадратичной зависимости значительно превосходит значение F_крит ,что подтверждает ее значимость. Для линейной зависимости превышение F_расч не столь велико, что делает снова-таки предпочтительнее квадратичную оценку регрессии y₂ на x₄ и x₈ .

	K	L	M	N	O	Q	R	S
1		^2		^2			RyP(x)	RyP2(x)
2	66,0145	4357,91	52,4372	2749,66			0,762322	0,80921
3	98,0407	9611,98	63,6085	4046,04			Sост	Sост
4	36,9723	1366,95	39,0068	1521,53
5	121,189	14686,7	59,1584	3499,72			2523,668	2218,362
6	36,6828	1345,63	52,8333	2791,36			Sфакт	Sфакт
7	66,8451	4468,27	52,8975	2798,14
8	25,2325	636,678	31,6051	998,881
9	-64,2814	4132,09	-63,8871	4081,57			3501,349	4208,353
10	3,56772	12,7286	14,147	200,138			R2	R22
11	43,0760	1855,54	43,5092	1893,05			0,581135	0,654822
12	-12,1715	148,144	4,46566	19,9421			Fрасч	F2расч
13	37,1816	1382,47	39,3711	1550,09			33,29771	45,5293
14	68,8203	4736,24	53,556	2868,24
15	37,88307	1435,127	39,90716	1592,582			Fкрит =	3,205

Рис.13.Проверка значимости.

 

Таким образом, выборочное уравнение регрессии имеет вид: