Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Криволинейный интеграл первого рода

 

Криволинейный интеграл второго рода

1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.

Определение криволинейного интеграла по координатам.

2. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).

3. Вычисления

а)

б)

 

Рис. 1

 

Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай  когда путь интегрирования – кривая -кривая , , . Т/н. А-работу силы  при перемещении точки  от  к

1. Разобьем на n частей :

Обозначим  вектор- хорда дуге.

Пусть  предположим, что на  тогда

Работа  вдоль дуги  вычисляется как скалярное произведение векторов  и

 

 

Пусть

 

 

Тогда:

Работа

Если , то этот предел примем за работу А силы  при движении точки  по кривой  от точки  до точки

 

 

, -не числа, а точки концы линии .

1. Свойства:

1⁰  определяется

а) подынтегральным выражением

б) формой кривой интегрирования.

в) указанием направления интегрирования (рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

 

-можно рассматривать как интеграл от векторной функции

Тогда  - если -замкнутая то -называют циркуляцией вектора  по контуру .

3⁰

4⁰  не зависит от того какую точку  взять за начало

Вычисление криволинейного интеграла

 

Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).

 

Рис. 3

 

-гладкая кривая.

1. Если -непрерывны, -непрерывные.

-непрерывны по , то

Пределы А и В не зависят ни от способа деления  на , ни от вектора

 

Следовательно: .

 

 

2. В случае:  

 

 

1. Формула Грина.

2. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

3. Полный дифференциал.

Связь между определенным и криволинейным интегралами.

Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией  (рис. 4).

интеграл криволинейный грин формула

 

Рис. 4

 

 непрерывны на

 - определена и непрерывна в замкнутой области D.

 - определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда

 

Аналогично

 

 -Формула Грина.

 

В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.

 

 

Пример.

 

 

Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

 

Рис. 5

 

- непрерывные частные производные в  (рис. 5).

Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?

 

Теорема: -непрерывны в области , тогда для того, чтобы

 в  (рис. 6)

 

Рис. 6

 

 

Пусть

 

Обратно  

Т.д.

Пусть  из непрерывности  и

-окрестность точки  такая что  в

 предположение неверно. ч.т.д.

Замечание.

Определение. Функция -градиент которой есть вектор силы  называется потенциалом вектора .

Тогда

Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.

Литература

 

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ, 1989 г.

2. Виноградова И.А., Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. – 880 с.

4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.