2020-01-14
194
R(sin kx,cos nx, tg mx, ctg lx) = 0 (3)
где R – рациональная функция, k,n,m,l ÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению уравнению относительно аргументов sin x,cos x, tg x, ctg x, после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x /2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки
2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)
sin x = cos x =
1+tgІ(x/2) 1+tgІ(x/2)
(4)
2tg(x/2) 1-tgІ(x/2)
tg x = ctg x =
1-tgІ(x/2) 2tg(x/2)
Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения.
|
|
|
Практикум
sin x +√2-sinІ x + sin x √2-sinІ x = 3
 |
Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.
Пусть u = sin x и v = +√2-sinІ x. Так как –1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0. Кроме того, имеем uІ + vІ =2.
В таком случае из уравнения получаем систему уравнений
 |
u + v + uv = 3
uІ + vІ =2
Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует
 |
r + s = 3
rІ - 2s = 2
Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место
 |
u + v = 2
uv = 1
u = v = 1
Поскольку, u = sin x и u = 1, то sin x = 1 и x = π/2+2πk, kÎ Z
Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ
cos 
=x2+1
Данное уравнение рационально решать функциональным методом.
cos ≤1 x2+1≥1 =>
cos =1
x2+1=1 x=0
Ответ: х=0
5sin x -5tg x
+4(1-cos x)=0
sin x +tg x
Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.
Так как tg x не определен при x = π/2+πk, kÎ Z, а sin x +tg x =0 при x = πk, kÎ Z, то углы x = πk/2, kÎ Z не входят в ОДЗ уравнения.
Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x /2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим
 |  |
2t 2t
5 -
|
|
|
1+tІ 1-tІ 1-tІ
+4 1- =0
2t 2t 1+tІ
+
1+tІ 1-tІ
Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению
8tІ
-5tІ + = 0 ó-5-5tІ + 8 = 0
1+tІ
откуда t = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎ Z
Ответ: x = ±2arctg√3/5 +2πk, kÎ Z
tg x +ctg x +tgІ x +ctgІ x +tgі x +ctgі x =6
Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.
Пусть y=tg x +ctg x, тогда tgІ x +ctgІ x =yІ-2, tgі x +ctgі x =yі-3y
yі+yІ-2y-8=0
y=2
Так как tg x +ctg x =2, то tg x +1/ tg x =2. Отсюда следует, что tg x =1 и x = π/4+πk, kÎ Z
Ответ: x = π/2+2πk, kÎ Z
2cos πx=2x-1
Данное уравнение рационально решать графическим методом.
Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5
Ответ: х=0,5
3+(х-π)2=1-2cosx
Данное уравнение рационально решать функциональным методом.
(х-π)2+2=-2cosx
(х-π)2+2≥2 -2cosx≤2
=> x=π, при k=0
Ответ: x=π
10|sinx|=10|cosx|-1
Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.
Т.к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:
|sinx|=|cosx|-1
Точки пересечения графиков имеют координаты (
); 
. Следовательно, х= 
.
Ответ: х=
