Аналітичне моделювання динамічного режиму

Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р₃. Необхідно знайти залежність:

, де ступінь відкриття клапану на вхідному потоці; - витрати газу з ресивера, кг/год.

Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання

Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів

Н/см²; Н/см²; Н/см²; кг/год

Ємкості ресивера мають об’єм ;

На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей

Витрати та потрібно виразити через залежності від відповідних значень тиску, та ступеню відкриття клапану на вхідному потоці:

де та - коефіцієнти витрати; та - це значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.

Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:

За умовою, що

та ,

Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:

Зробимо аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є: . Якщо та будуть змінюватися, то навіть за сталим значенням будуть змінюватися та , а в зв’язку з тим, що - змінна, то змінною буду і . Таким чином, змінними в рівняннях будуть . Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо рівняння розкладанням в ряд Тейлора.

В рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск та щільність , тиск та щільність . Іх однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:

Введемо умовне позначення .

Де

Виключивши з рівнянь змінни та розділивши всі складові рівняння на коефіцієнт при , отримаємо:

Де

; ; ;

Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.

Визначимо із статичних залежностей та з довідників значення величин . Спочатку визначимо . Тиск та щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:

де - атмосферний тиск, Н/см²;

- абсолютне значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості, ; ; .

Щільність повітря ддля атмосферного тиску за довідником кг/м³.

Враховуючи викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення для основного статичного режиму:

, ,

Визначимо числові значення коефіцієнтів витрати .

Знайдемо числове значення виразу , .

Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, C та E.

; ; ; .