Условие о суммировании

Мы введем теперь два важных условия относительно индексов. В тензорном исчислении мы часто имеем дело с суммами типа C) и E); нетрудно заметить, что в этих формулах индексы, по которым идет суммирование, появляются дважды. Наши формулы можно сделать компактнее, если избавиться от знака 2- Это может быть осуществлено, если принять, что знак 2 будет подразумеваться в любом случае, когда в одночленном выражении индекс повторяется. Тогда C) можно записать так:

а (5) примет вид

Единственное неудобство в применении нашего условия возникает в том случае, когда мы желаем выписать один член какой-либо из сумм (8) или (9). Нам это потребуется очень редко, но мы запасемся для этого случая соглашением, что условие о суммировании применяется только, когда повторяющийся индекс записан малой буквой, а использование заглавных букв для повторяющихся индексов не означает суммирования. Таким образом, отдельные члены сумм (8) и (9) будут обозначаться соответственно. Наше первое условие, следовательно, читается так:

Повторяющийся малый латинский индекс означает суммирование от 1 до 3.

Так как повторяющийся индекс означает суммирование от 1 до 3, то применение какой-нибудь специальной буквы для повторяющихся индексов не обязательно, и мы можем заменить ее любой буквой, которая нам удобна, без изменения значения рассматриваемого выражения. Таким образом,

По этой причине повторяющийся индекс часто называют немым. Индекс, который в каком-нибудь одночленном выражении не повторяется, назовем свободным. Таким образом, все индексы в формулах D), F) и G) —свободные индексы; следует отметить, что в. этих формулах свободные индексы пробегают значения от 1 до 3. Мы имеем, следовательно, наше второе условие:

Свободные (неповторяющиеся) малые латинские индексы пробегают значения от 1 до 3.

Например, объект второго порядка будет теперь записываться в виде

без какого-нибудь дополнительного упоминания о числе значений, пробегаемых г и s. Другими словами, ara означает любую из девяти составляющих

Отметим, что почти всегда немой индекс будет появляться в одним верхнем и в одном нижнем положении. Поскольку это окажется возможным, в настоящей главе мы будем придерживаться такого расположения индексов.