Сложение, умножение и свертывание объектов

В алгебре объектов со многими индексами имеются три главные операции, которые называются сложением, умножением и свертыванием.

а) Сложение. Эта операция применима только к объектам одного и того же порядка и типа. Если нам даны два объекта одного и того же порядка и типа и если мы складываем каждую составляющую первого объекта с соответствующей составляющей второго, то мы, очевидно, приходим к объекту того же порядка и типа, что и слагаемые. Этот процесс есть операция сложения, и результирующий объект называется суммой двух объектов. Таким образом, если arst и brst — два объекта третьего порядка, то объект , определенный равенством

есть сумма  и . Мы подразумеваем здесь алгебраическую сумму; поэтому вычитание включено сюда как частный случай. Кроме того, эта операция может быть распространена непосредственно на случай любого количества объектов, если только они все одного и того же порядка и типа.

б) Умножение. Мы сейчас определим произведение двух объектов. Если мы берем два объекта любого типа и умножаем каждую составляющую первого объекта на каждую составляющую второго, мы получаем объект, порядок которого равен сумме порядков двух исходных объектов; этот результирующий объект называется произведением двух объектов. Например, если a^r_st — объект третьего порядка и b^mn — объект второго порядка, то мы видим, что объект с^rmn, составляющие которого определяются равенством

есть объект пятого порядка и является произведением a^r_st и b^mn. Этот процесс, конечно, может быть распространен на любое количество объектов.

в) Свертывание. Процесс свертывания может быть пояснен на примере. Возьмем объект пятого порядка

который имеет как верхние, так и нижние индексы. Если мы теперь положим и равным р, мы получим объект arsfp, и так как р является теперь повторяющимся индексом, то необходимо произвести суммирование от 1 до 3, в соответствии с нашим условием. Итак, полученный таким путем новый

Мы видим, что наш новый объект A2) —третьего по- рядка, т. е. его порядок на два ниже, чем порядок исходного объекта. Операция может быть, очевидно, повторена несколько раз, т. е. мы можем произвести свертывание относительно любой пары индексов, один из которых является нижним,, а другой—верхним. В приведенном выше примере мы можем произвести свертывание еще раз по индексам rp, получив объект первого порядка

Имеется еще одна операция, называемая внутренним умножением, которая не является новой, так как в действительности она является комбинацией умножения и свертывания. Чтобы выполнить эту операцию над двумя объектами, мы сначала перемножаем их, а затем свертываем произведение по нижнему индексу одного объекта и верхнему индексу другого. Таким образом, внутреннее произведение двух объектов есть, например,