Метод неопределённых коэффициентов

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту по дисциплине

«1001 – Дискретная математика»

 

Тема: «Разработка алгоритма программы нахождения производной

Методом неопределённых коэффициентов»

Руководитель:

Исполнитель:

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1.Постановка и уяснение задачи:

1.1Анализ предметной области

1.1.1 Метод неопределённых коэффициентов

1.1.2 Использование интерполяционных многочленов

1.1.3 Использование конечно разностных соотношений для аппроксимации производных

2. Разработка алгоритма и программы:

2.1 Разработка алгоритма

2.2 Обоснование выбора языка программирования

2.3 Разработка программы

3.Экспериментальное исследование алгоритма и программы:

3.1Решение задачи методом неопределённых коэффициентов

3.2 Тестирование программы

3.3. Руководство программисту

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

 

Введение

 

Задача решения обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее задачи вычисления однократных интегралов, и доля задач, интегрируемых в явном виде, здесь существенно меньше.

Когда говорят об интегрируемости в явном виде, имеют в виду, что решение может быть вычислено при помощи конечного числа “элементарных” операций: сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, логарифмирования, потенцирования, вычисление синуса и косинуса и т.д.

Уже в период, предшествовавший появлению ЭВМ, понятия “элементарной” операции претерпели изменения. Решение некоторых частных задач настолько часто встречаются в приложениях, что пришлось составить таблицы их значений, в частности таблицы интегралов Френеля, функций Бесселя и ряда других так называемых специальных функций. При наличии таких таблиц исчезает принципиальная разница между вычислением функций sin x, ln x,… и специальных функций. В том и другом случаях можно вычислять значения этих функций при помощи таблицы, и те и другие функции можно приближая их многочленами, рациональными дробями и т.д.

Таким образом, в класс задач, интегрируемых в явном виде, включились задачи, решение которых выражаются через специальные функции. Однако и этот, более широкий, класс составляет относительно малую долю задач, предъявляемых к решению. Существенное расширение класса реально решаемых дифференциальных уравнений, а следовательно и расширение сферы применения математики произошло с разработкой численных методов и активным повсеместным использованием ЭВМ.

В настоящее время затраты человеческого труда при решении на ЭВМ задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений сравнимы с затратами на то, чтобы просто переписать заново формулировку этой задачи.

При желании можно получить график решения или его изображение на экране. В результате этого для многих категорий научных работников существенно уменьшился интерес к изучению частных способов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений в явном виде.

Эта работа посвящена описанию одного из методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и исследования свойств этого метода.

Обратим внимание на то обстоятельство, что как и в других случаях, первоначальный анализ практической пригодности метода производится, изучая простейшие задачи, где точное и приближенное решение задачи выписываются в явном виде.

 

Постановка и уяснение задачи

 

Необходимо разработать алгоритм и программу, выполняющую задачу по нахождению производной методом неопределённых коэффициентов. Необходимо провести анализ существующих методов решения поставленной задачи. Наиболее подходящим считать метод неопределённых коэффициентов. Результатом выполнения работы иметь корректно работающую программу и правильно оформленную техническую документацию.

Анализ предметной области

Метод неопределённых коэффициентов

Метод неопределённых коэффициентов применяется для численного дифференцирования таблично заданной функции с произвольным расположением узлов. Он заключается в следующем.

Искомое выражение для производной k -го порядка для некоторой точке x=x_i представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах x₀, x₁, …, x_n:

 

y_i^(k)=C₀y₀+C₁y₁+…+C_ny_n. (2.1)

 

Предполагается, что эта формула имеет место для многочленов:

 

y=1; y=x-x_i;…; y=(x-x_i)ⁿ.

 

Подставляя последовательно эти многочлены в выражение (2.1) можно получить систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов С₀, С₁, …, С_n.

Рассмотрим порядок использования данного метода для нахождения производной на следующем примере.

Пример. Найти выражение для определения производной у₁' в случае задания функции в четырёх равноотстоящих узлах.

Решение. Равенство (2.1) запишется в следующем виде

 

y_i^(k)=C₀y₀+C₁y₁+С₂у₂+C₃у₃. (2.2)

 

Для нахождения производной у₁' используем, например, следующие многочлены:

 

y=1; y=x-x₀; у=(х-х₀)²; y=(x-x₀)³.. (2.3)

 

Производные этих многочленов будут иметь следующий вид соответственно:

 

y'=0; y'=1; у'=2(х-х₀); y'=3(x-x₀)².. (2.4)

 

Подставляя последовательно соотношения (2.3) и (2.4) соответственно в правую и левую части равенства (2.2), получим в общем виде при х=х₁, следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов С₀, С₁, …, С_n:

 

 

После упрощения данная система линейных алгебраических уравнений примет следующий вид:

 

Решив данную систему уравнений, получим следующие значения коэффициентов и выражение для нахождения производной у₁':