Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности

 

Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс , , с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений  за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке  рассмотрим статистику

 

 (2.1)

 

где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция,  для , а

 

 (2.2)

 

s – целое число, - целая часть числа .

Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

 (2.3)

 

определено равенством (2.2).

Известно, если  рассматривать как оценку взаимной спектральной плотности  в точке , то она является асимптотически несмещенной, но не состоятельной оценкой этой спектральной плотности. Заметим, что оценка (2.1) взаимной спектральной плотности  построена путем осреднения значений периодограммы в точках  некоторой весовой функцией .

Лемма 3. Для любого действительного , и любого  справедливо неравенство

 

где - ядро Фейера, задаваемое равенством

 

(2.4)

, а

, (2.5)

Доказательство. Учитывая чётность функции  и элементарное неравенство

 

 (2.6)

 

справедливое для всех x, таких, что , имеем

 

 

Сделаем замену переменной интегрирования  тогда правая часть последнего неравенства примет вид

 

 

Применив для оценки первого интеграла, стоящего в квадратных скобках, неравенство , а для оценки второго – неравенство , получим

 

Лемма доказана.

Проведен численный анализ для соотношения (2.5) при Т=100 и при , T  , где T - число наблюдений и получены следующие результаты

 

0,1	0.663138	2.13239
0,2	0.447986	1.48005
0,3	0.308154	1.04694
0,4	0.216092	0.7554
0,5	0.154768	0.556644
0,6	0.113483	0.41954
0,7	0.085422	0.323925
0,8	0.06619	0.256576
0,9	0.0529213	0.208718
1	0.0437283	0.348932

 

α
0,1	0.663138	1.63184
0,2	0.447986	1.10052
0,3	0.308154	0.755087
0,4	0.216092	0.527538
0,5	0.154768	0.375825
0,6	0.113483	0.273535
0,7	0.085422	0.203842
0,8	0.06619	0.155894
0,9	0.0529213	0.122613
1	0.0437283	0.0993358