2020-01-14
89
Исследование точности численного интегрирования
Преподаватель:
Студент:
Группа:
Екатеринбург 2010
Содержание
Техническое задание
Текст задания
Подробное описание задания
Метод решения
Результаты исследования
Анализ результатов
Описание применения
Назначение программы
Условия применения
Описание задачи
Программа и методика испытаний
Объект испытаний
Цель испытаний
Требования к программе
Средства и порядок испытаний
Методы испытаний
Руководство пользователя
Назначение программы
Условия и характеристики выполнения программы
Выполнение программы
Сообщения оператору
Входные и выходные данные
Сборка программы
Описание программы
Общие сведения
Функциональное назначение
Описание логической структуры
Используемые технические средства
|
|
|
Входные и выходные данные
Текст программы
1. Техническое задание
Текст задания
Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методами Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка C.
Подробное описание задания
Постройте зависимости количества итераций от различный величин критерия точности.
Постройте обратные зависимости критерия точности от количества итераций.
Повторите все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла на смежных итерациях относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.
Исследуйте влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных величинах).
Подынтегральные функции для исследования:
1/x2 [0.5, 3]
1/x [0.1, 9]
sin mx [0, π] m=1,2,7,9
Метод решения
Предполагается, что отрезок интегрирования [a,b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой). Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваиваемого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа п. Отношение абсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущего приближенного значения принимается в качестве критерия достижения точности вычисления интеграла.
x, = x0 + ih, (i = 0,1,..,n), х0 = а, хn = b, h=(b-a)/n
 |
Метод трапеций:
где yi=f(xi)
Метод Симпсона:
n – обязательно четное.
Результаты исследования
|
|
|
Приведем пример построения зависимости количества итераций от критерия точности для подынтегральной функции 1/x, решенный при помощи метода трапеций, критерий точности вычисляется как отношение разности значений интегралов, полученных на смежных итерациях, к аналитическому значению.
Входные данные: номер зависимости (в данном случае – 1), номер делителя (аналитическое значение -2), номер метода, номер функции, верхний и нижний пределы, коэффициент m, равный 1.
Критерий точности автоматически изменяется от 10-7 до 10-3, с каждым шагом увеличиваясь в 101/24, таким образом, получается 25 точек, которых вполне хватает для исследования зависимости. На каждой итерации кол-во отрезков, на которое делится отрезок интегрирования увеличивается в два раза, т.е n = 2iter, где itter – кол-во итераций. Циклически вычисляется до достижения заданного критерия точности.
Вычисленные значения сохраняются в файле “D:\Zavisimost1.txt”. После переноса значений в MS Excel создается таблица 1 и строится график, изображенный на рисунке 1.
Таблица 1
| критерий точности | 1,00E-07 | 1,47E-07 | 2,15E-07 | 3,16E-07 | 4,64E-07 | 6,81E-07 | 1,00E-06 | 1,47E-06 | 2,15E-06 |
| Кол-во итераций | 22 | 21 | 20 | 20 | 19 | 19 | 18 | 18 | 17 |
| критерий точности | 3,16E-06 | 4,64E-06 | 6,81E-06 | 1,00E-05 | 1,47E-05 | 2,15E-05 | 3,16E-05 | 4,64E-05 | 6,81E-05 |
| Кол-во итераций | 17 | 16 | 16 | 15 | 15 | 14 | 14 | 13 | 13 |
| критерий точности | 1,00E-04 | 1,47E-04 | 2,15E-04 | 3,16E-04 | 4,64E-04 | 6,81E-04 | 1,00E-03 |
|
|
| Кол-во итераций | 12 | 12 | 11 | 11 | 11 | 10 | 10 |
|
|
Рисунок 1
Результаты всех измерений приведены в таблицах 2, 3, 4, 5, 6.
Таблица 2 - Зависимости кол-ва итераций от критерия точности для функций 1/x, 1/x^2, sin x
| Кол-во итераций от критерия точности | ||||||||||||
|
| к предыдущему значению | к аналитическому значению | ||||||||||
| критерий точности | Метод трапеций | Метод Симпсона | Метод трапеций | Метод Симпсона | ||||||||
|
| 1/x2 | 1/x | sin x | 1/x2 | 1/x | sin x | 1/x2 | 1/x | sin x | 1/x2 | 1/x | sin x |
| 1,00E-07 | 22 | 22 | 10 | 21 | 21 | 15 | 22 | 22 | 10 | 21 | 21 | 15 |
| 1,47E-07 | 21 | 21 | 10 | 20 | 20 | 14 | 21 | 21 | 10 | 20 | 20 | 14 |
| 2,15E-07 | 20 | 20 | 10 | 20 | 20 | 13 | 20 | 20 | 10 | 20 | 20 | 13 |
| 3,16E-07 | 20 | 20 | 10 | 19 | 19 | 13 | 20 | 20 | 10 | 19 | 19 | 13 |
| 4,64E-07 | 19 | 19 | 10 | 19 | 19 | 12 | 19 | 19 | 10 | 19 | 19 | 12 |
| 6,81E-07 | 19 | 19 | 10 | 18 | 18 | 12 | 19 | 19 | 10 | 18 | 18 | 12 |
| 1,00E-06 | 18 | 18 | 10 | 18 | 18 | 11 | 18 | 18 | 10 | 18 | 18 | 11 |
| 1,47E-06 | 18 | 18 | 10 | 17 | 17 | 11 | 18 | 18 | 10 | 17 | 17 | 11 |
| 2,15E-06 | 17 | 17 | 10 | 17 | 17 | 10 | 17 | 17 | 10 | 17 | 17 | 10 |
| 3,16E-06 | 17 | 17 | 10 | 16 | 16 | 10 | 17 | 17 | 10 | 16 | 16 | 10 |
| 4,64E-06 | 16 | 16 | 9 | 15 | 15 | 9 | 16 | 16 | 9 | 15 | 15 | 9 |
| 6,81E-06 | 16 | 16 | 9 | 15 | 15 | 8 | 16 | 16 | 9 | 15 | 15 | 8 |
| 1,00E-05 | 15 | 15 | 9 | 14 | 14 | 8 | 15 | 15 | 9 | 14 | 14 | 8 |
| 1,47E-05 | 15 | 15 | 9 | 14 | 14 | 7 | 15 | 15 | 9 | 14 | 14 | 7 |
| 2,15E-05 | 14 | 14 | 9 | 13 | 13 | 7 | 14 | 14 | 9 | 13 | 13 | 7 |
| 3,16E-05 | 14 | 14 | 8 | 13 | 13 | 6 | 14 | 14 | 8 | 13 | 13 | 6 |
| 4,64E-05 | 13 | 13 | 8 | 12 | 12 | 6 | 13 | 13 | 8 | 12 | 12 | 6 |
| 6,81E-05 | 13 | 13 | 8 | 12 | 12 | 5 | 13 | 13 | 8 | 12 | 12 | 5 |
| 1,00E-04 | 12 | 12 | 8 | 11 | 11 | 5 | 12 | 12 | 8 | 11 | 11 | 5 |
| 1,47E-04 | 12 | 12 | 7 | 11 | 11 | 5 | 12 | 12 | 7 | 11 | 11 | 5 |
| 2,15E-04 | 11 | 11 | 7 | 10 | 10 | 5 | 11 | 11 | 7 | 10 | 10 | 5 |
| 3,16E-04 | 11 | 11 | 7 | 10 | 10 | 4 | 11 | 11 | 7 | 10 | 10 | 4 |
| 4,64E-04 | 11 | 11 | 7 | 9 | 9 | 4 | 11 | 11 | 7 | 9 | 9 | 4 |
| 6,81E-04 | 10 | 10 | 6 | 9 | 9 | 4 | 10 | 10 | 6 | 9 | 9 | 4 |
| 1,00E-03 | 10 | 10 | 6 | 9 | 9 | 4 | 10 | 10 | 6 | 9 | 9 | 4 |
Таблица 3 - Зависимость критерия точности интегрирования для функций 1/x^2, 1/x
| Критерий точности от кол-во итераций | ||||||||||
|
| к предыдущему значению | к аналитическому значению | ||||||||
| кол-во итераций | Метод трапеций | Метод Симпсона | Метод трапеций | Метод Симпсона | ||||||
|
| 1/x2 | 1/x | 1/x2 | 1/x | 1/x2 | 1/x | 1/x2 | 1/x | ||
| 1 | 4,25E-01 | 4,79E-01 | 3,81E-01 | 4,69E-01 | 1,38E+00 | 4,89E+00 | 8,68E-01 | 3,26E+00 | ||
| 2 | 3,06E-01 | 4,46E-01 | 2,15E-01 | 4,17E-01 | 5,72E-01 | 2,38E+00 | 3,03E-01 | 1,54E+00 | ||
| 3 | 1,57E-01 | 3,81E-01 | 7,35E-02 | 3,27E-01 | 2,04E-01 | 1,12E+00 | 8,14E-02 | 7,06E-01 | ||
| 4 | 5,87E-02 | 2,77E-01 | 1,71E-02 | 2,06E-01 | 6,42E-02 | 5,05E-01 | 1,75E-02 | 2,99E-01 | ||
| 5 | 1,89E-02 | 1,58E-01 | 4,52E-03 | 9,55E-02 | 1,95E-02 | 2,09E-01 | 4,55E-03 | 1,10E-01 | ||
| 6 | 6,17E-03 | 6,89E-02 | 1,81E-03 | 3,13E-02 | 6,23E-03 | 7,66E-02 | 1,82E-03 | 3,26E-02 | ||
| 7 | 2,20E-03 | 2,38E-02 | 8,72E-04 | 7,28E-03
| 2,21E-03 | 2,47E-02 | 8,74E-04 | 7,35E-03 | ||
| 8 | 8,77E-04 | 7,16E-03 | 4,34E-04 | 1,42E-03 | 8,79E-04 | 7,24E-03 | 4,34E-04 | 1,42E-03 | ||
| 9 | 3,82E-04 | 2,08E-03 | 2,17E-04 | 3,66E-04 | 3,82E-04 | 2,08E-03 | 2,17E-04 | 3,66E-04 | ||
| 10 | 1,77E-04 | 6,32E-04 | 1,08E-04 | 1,49E-04 | 1,77E-04 | 6,33E-04 | 1,09E-04 | 1,49E-04 | ||
| 11 | 8,49E-05 | 2,12E-04 | 5,42E-05 | 7,19E-05 | 8,49E-05 | 2,12E-04 | 5,43E-05 | 7,19E-05 | ||
| 12 | 4,16E-05 | 7,99E-05 | 2,71E-05 | 3,58E-05 | 4,16E-05 | 7,99E-05 | 2,71E-05 | 3,58E-05 | ||
| 13 | 2,06E-05 | 3,34E-05 | 1,36E-05 | 1,79E-05 | 2,06E-05 | 3,34E-05 | 1,36E-05 | 1,79E-05 | ||
| 14 | 1,02E-05 | 1,51E-05 | 6,78E-06 | 8,94E-06 | 1,02E-05 | 1,51E-05 | 6,78E-06 | 8,94E-06 | ||
| 15 | 5,10E-06 | 7,12E-06 | 3,39E-06 | 4,47E-06 | 5,10E-06 | 7,12E-06 | 3,39E-06 | 4,47E-06 | ||
| 16 | 2,55E-06 | 3,46E-06 | 1,70E-06 | 2,24E-06 | 2,55E-06 | 3,46E-06 | 1,70E-06 | 2,24E-06 | ||
| 17 | 1,27E-06 | 1,70E-06 | 8,48E-07 | 1,12E-06 | 1,27E-06 | 1,70E-06 | 8,48E-07 | 1,12E-06 | ||
| 18 | 6,36E-07 | 8,45E-07 | 4,24E-07 | 5,59E-07 | 6,36E-07 | 8,45E-07 | 4,24E-07 | 5,59E-07 | ||
| 19 | 3,18E-07 | 4,21E-07 | 2,12E-07 | 2,79E-07 | 3,18E-07 | 4,21E-07 | 2,12E-07 | 2,79E-07 | ||
| 20 | 1,59E-07 | 2,10E-07 | 1,06E-07 | 1,40E-07 | 1,59E-07 | 2,10E-07 | 1,06E-07 | 1,40E-07 | ||
Таблица 4. Зависимости кол-ва итераций от критерия точности для функций sin 7x, sin 9x
| Кол-во итераций от критерия точности | ||||||||
|
| к предыдущему значению | к аналитическому значению | ||||||
| Критерий точности | Метод трапеций | Метод Симпсона | Метод трапеций | Метод Симпсона | ||||
|
| sin(7x) | sin(9x) | sin(7x) | sin(9x) | sin(7x) | sin(9x) | sin(7x) | sin(9x) |
| 1,00E-07 | 21 | 21 | 20 | 21 | 21 | 21 | 20 | 21 |
| 1,47E-07 | 20 | 21 | 20 | 20 | 20 | 21 | 20 | 20 |
| 2,15E-07 | 20 | 20 | 19 | 20 | 20 | 20 | 19 | 20 |
| 3,16E-07 | 19 | 20 | 18 | 19 | 19 | 20 | 18 | 19 |
| 4,64E-07 | 19 | 19 | 18 | 19 | 19 | 19 | 18 | 19 |
| 6,81E-07 | 18 | 19 | 17 | 18 | 18 | 19 | 17 | 18 |
| 1,00E-06 | 17 | 18 | 17 | 18 | 17 | 18 | 17 | 18 |
| 1,47E-06 | 17 | 18 | 16 | 17 | 17 | 18 | 16 | 17 |
| 2,15E-06 | 16 | 17 | 16 | 16 | 16 | 17 | 16 | 16 |
| 3,16E-06 | 16 | 16 | 15 | 16 | 16 | 16 | 15 | 16 |
| 4,64E-06 | 10 | 16 | 15 | 15 | 10 | 16 | 15 | 15 |
| 6,81E-06 | 10 | 15 | 14 | 15 | 10 | 15 | 14 | 15 |
| 1,00E-05 | 10 | 10 | 13 | 14 | 10 | 10 | 13 | 14 |
| 1,47E-05 | 10 | 10 | 13 | 14 | 10 | 10 | 13 | 14 |
| 2,15E-05 | 10 | 10 | 12 | 13 | 10 | 10 | 12 | 13 |
| 3,16E-05 | 10 | 10 | 12 | 13 | 10 | 10 | 12 | 13 |
| 4,64E-05 | 10 | 10 | 11 | 12 | 10 | 10 | 11 | 12 |
| 6,81E-05 | 10 | 10 | 11 | 11 | 10 | 10 | 11 | 11 |
| 1,00E-04 | 10 | 10 | 10 | 11 | 10 | 10 | 10 | 11 |
| 1,47E-04 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| 2,15E-04 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 | 9 | 10 |
| 3,16E-04 | 9 | 10 | 9 | 9 | 9 | 10 | 9 | 9 |
| 4,64E-04 | 9 | 9 | 8 | 9 | 9 | 9 | 8 | 9 |
| 6,81E-04 | 9 | 9 | 8 | 8 | 9 | 9 | 8 | 8 |
| 1,00E-03 | 9 | 9 | 7 | 8 | 9 | 9 | 7 | 8 |
Таблица 5 - Зависимость критерия точности интегрирования для функций sin x, sin 2x
|
|
|
| Критерий точности от кол-во итераций | ||||||||
|
| к предыдущему значению | к аналитическому значению | ||||||
| кол-во итераций | Метод трапеций | Метод Симпсона | Метод трапеций | Метод Симпсона | ||||
|
| sin x | sin 2x | sin x | sin 2x | sin x | sin 2x | sin x | sin 2x |
| 1 | 2,09E+02 | 6,67E-01 | 2,50E+02 | 9,00E-01 | 7,83E-01 | 3,94E+03 | 1,04E+00 | 5,91E+03 |
| 2 | 2,06E-01 | 5,00E-01 | 4,32E-02 | 1,59E-03 | 1,62E-01 | 9,87E+02 | 4,52E-02 | 1,05E+00 |
| 3 | 4,08E-02 | 5,01E-01 | 2,34E-03 | 5,01E-01 | 3,87E-02 | 4,93E+02 | 2,35E-03 | 3,29E+02 |
| 4 | 9,62E-03 | 5,01E-01 | 2,30E-04 | 5,02E-01 | 9,50E-03 | 2,46E+02 | 2,30E-04 | 1,64E+02 |
| 5 | 2,34E-03 | 5,02E-01 | 5,98E-05 | 5,03E-01 | 2,33E-03 | 1,23E+02 | 5,99E-05 | 8,21E+01 |
| 6 | 5,63E-04 | 5,04E-01 | 2,65E-05 | 5,06E-01 | 5,63E-04 | 6,16E+01 | 2,65E-05 | 4,11E+01 |
| 7 | 1,31E-04 | 5,08E-01 | 1,31E-05 | 5,12E-01 | 1,31E-04 | 3,08E+01 | 1,31E-05 | 2,05E+01 |
| 8 | 2,78E-05 | 5,17E-01 | 6,51E-06 | 5,26E-01 | 2,78E-05 | 1,54E+01 | 6,51E-06 | 1,03E+01 |
| 9 | 4,52E-06 | 5,35E-01 | 3,26E-06 | 5,54E-01 | 4,52E-06 | 7,70E+00 | 3,26E-06 | 5,13E+00 |
| 10 | 9,11E-08 | 5,75E-01 | 1,63E-06 | 6,21E-01 | 9,11E-08 | 3,85E+00 | 1,63E-06 | 2,57E+00 |
| 11 | 6,33E-07 | 6,75E-01 | 8,14E-07 | 8,19E-01 | 6,33E-07 | 1,93E+00 | 8,14E-07 | 1,28E+00 |
| 12 | 4,64E-07 | 1,04E+00 | 4,07E-07 | 2,26E+00 | 4,64E-07 | 9,63E-01 | 4,07E-07 | 6,42E-01 |
| 13 | 2,69E-07 | 1,29E+01 | 2,03E-07 | 8,96E-01 | 2,69E-07 | 4,81E-01 | 2,03E-07 | 3,21E-01 |
| 14 | 1,43E-07 | 4,64E-01 | 1,02E-07 | 2,36E-01 | 1,43E-07 | 2,41E-01 | 1,02E-07 | 1,60E-01 |
| 15 | 7,40E-08 | 1,58E-01 | 5,09E-08 | 9,56E-02 | 7,40E-08 | 1,20E-01 | 5,09E-08 | 8,02E-02 |
| 16 | 3,76E-08 | 6,84E-02 | 2,54E-08 | 4,36E-02 | 3,76E-08 | 6,02E-02 | 2,54E-08 | 4,01E-02 |
| 17 | 1,89E-08 | 3,20E-02 | 1,27E-08 | 2,09E-02 | 1,89E-08 | 3,01E-02 | 1,27E-08 | 2,01E-02 |
| 18 | 9,50E-09 | 1,55E-02 | 6,36E-09 | 1,02E-02 | 9,50E-09 | 1,50E-02 | 6,36E-09 | 1,00E-02 |
| 19 | 4,75E-09 | 7,62E-03 | 3,18E-09 | 5,06E-03 | 4,75E-09 | 7,51E-03 | 3,18E-09 | 5,01E-03 |
| 20 | 2,39E-09 | 3,81E-03 | 1,58E-09 | 2,51E-03 | 2,39E-09 | 3,79E-03 | 1,58E-09 | 2,49E-03 |
Таблица 6 - Зависимость критерия точности интегрирования для функций sin 7x, sin 9x
| Критерий точности от кол-во итераций | ||||||||
|
| к предыдущему значению | к аналитическому значению | ||||||
| кол-во итераций | Метод трапеций | Метод Симпсона | Метод трапеций | Метод Симпсона | ||||
|
| sin 7x | sin 9x | sin 7x | sin 9x | sin 7x | sin 9x | sin 7x | sin 9x |
| 1 | 3,04E+01 | 2,28E+01 | 3,66E+01 | 2,72E+01 | 5,59E+00 | 6,91E+00 | 7,47E+00 | 9,18E+00 |
| 2 | 2,17E-01 | 1,95E-01 | 4,10E-02 | 4,53E-02 | 1,17E+00 | 1,41E+00 | 2,98E-01 | 4,31E-01 |
| 3 | 1,04E+00 | 1,04E+00 | 1,37E+00 | 1,36E+00 | 6,87E+00 | 8,95E+00 | 9,55E+00 | 1,24E+01 |
| 4 | 1,92E+00 | 3,28E+00 | 6,00E-01 | 1,33E+00 | 5,56E-01 | 1,06E+00 | 1,55E+00 | 4,40E+00 |
| 5 | 1,41E-01 | 2,74E-01 | 2,58E-02 | 7,72E-02 | 1,19E-01 | 2,02E-01 | 2,66E-02 | 8,43E-02 |
| 6 | 2,89E-02 | 4,93E-02 | 2,50E-03 | 5,57E-03 | 2,79E-02 | 4,64E-02 | 2,51E-03 | 5,61E-03 |
| 7 | 6,48E-03 | 1,08E-02 | 7,11E-04 | 1,25E-03 | 6,43E-03 | 1,07E-02 | 7,12E-04 | 1,26E-03 |
| 8 | 1,37E-03 | 2,26E-03 | 3,23E-04 | 5,39E-04 | 1,37E-03 | 2,26E-03 | 3,24E-04 | 5,40E-04 |
| 9 | 2,22E-04 | 3,66E-04 | 1,60E-04 | 2,64E-04 | 2,22E-04 | 3,66E-04 | 1,60E-04 | 2,65E-04 |
| 10 | 4,46E-06 | 7,37E-06 | 7,98E-05 | 1,32E-04 | 4,46E-06 | 7,37E-06 | 7,98E-05 | 1,32E-04 |
| 11 | 3,10E-05 | 5,13E-05 | 3,99E-05 | 6,59E-05 | 3,10E-05 | 5,13E-05 | 3,99E-05 | 6,59E-05 |
| 12 | 2,27E-05 | 3,75E-05 | 1,99E-05 | 3,30E-05 | 2,27E-05 | 3,75E-05 | 1,99E-05 | 3,30E-05 |
| 13 | 1,32E-05 | 2,17E-05 | 9,97E-06 | 1,65E-05 | 1,32E-05 | 2,17E-05 | 9,97E-06 | 1,65E-05 |
| 14 | 7,03E-06 | 1,16E-05 | 4,99E-06 | 8,24E-06 | 7,03E-06 | 1,16E-05 | 4,99E-06 | 8,24E-06 |
| 15 | 3,63E-06 | 6,00E-06 | 2,49E-06 | 4,12E-06 | 3,63E-06 | 6,00E-06 | 2,49E-06 | 4,12E-06 |
| 16 | 1,84E-06 | 3,04E-06 | 1,25E-06 | 2,06E-06 | 1,84E-06 | 3,04E-06 | 1,25E-06 | 2,06E-06 |
| 17 | 9,28E-07 | 1,53E-06 | 6,23E-07 | 1,03E-06 | 9,28E-07 | 1,53E-06 | 6,23E-07 | 1,03E-06 |
| 18 | 4,66E-07 | 7,70E-07 | 3,12E-07 | 5,15E-07 | 4,66E-07 | 7,70E-07 | 3,12E-07 | 5,15E-07 |
| 19 | 2,33E-07 | 3,86E-07 | 1,56E-07 | 2,58E-07 | 2,33E-07 | 3,86E-07 | 1,56E-07 | 2,58E-07 |
| 20 | 1,17E-07 | 1,93E-07 | 7,79E-08 | 1,29E-07 | 1,17E-07 | 1,93E-07 | 7,79E-08 | 1,29E-07 |
Рисунок 2. Зависимость количества итераций от критерия точности
Рисунок 3. Зависимость количества итераций от критерия точности
Рисунок 4. Зависимость критерия точности от количества итераций (отношение разности к значению на предыдущей итерации)
Рисунок 5. Зависимость критерия точности от количества итераций (отношение разности к аналитическому значению)
Рисунок 6. Зависимость критерия точности от количества итераций
Рисунок 7. Зависимость критерия точности от количества итераций
Рисунок 8. Зависимость критерия точности от количества итераций
Рисунок 9. Зависимость критерия точности от количества итераций
Рисунок 10. Зависимость критерия точности от количества итераций интегрирования 1/х при разных верхних пределах интегрирования.
Рисунок 11
Анализ результатов
Если внимательно посмотреть результаты, то можно заметить отсутствие зависимости кол-ва итераций от заданного критерия точности для функции sin2x. Так как исследование проходит на интервале [0, π], то величина данного интеграла равна 0 (то есть в условиях программного расчета близка к нулю). Широко известно, что деление на ноль «не приветствуется», но если проводить расчет в данной программе, то можно увидеть, что в конце концов появится результат – 32 итерации, это происходит из-за того, что кол-во отрезков n, на которые разделен интервал интегрирования, имеет тип int, то есть четырехбайтовое целое знаковое число. На 31 итерации n приняло свой максимум, и на следующих итерациях критерий становится равным 0, что удовлетворяет любому заданному критерию, поэтому я решил, что эти измерения не целесообразны. Из второй зависимости видно что критерий точности для этой функции на двадцатой итерации только начинает приближаться к заданному интервалу критериев точности (порядка 10^-3).
Зависимости для функций 1/x, 1/x^2, sin7x и sin9x ведут себя почти одинаково при всех данных, а вот sinx отличается относительно «рекордной» точностью в измерениях (особенно расчетом методом трапеций, этот метод лучший при расчете площади под прямой линией).
Интегралы всех функций, кроме sinx, имеют лучшую точность при расчете методом Симпсона, но с учетом, что интервал интегрирования разбит на достаточно большое кол-во отрезков. На первых итерациях данный метод дает точность хуже, так как он рассчитан на более-менее изогнутые и не постоянные функции. Этим же объясняется его «не лучший» расчет интеграла sinx, так как эта функция, по-сравнению с остальными, менее изогнута (на заданном интервале), например sin mx очень часто изгибается, а 1/x и 1/x^2 очень стремительно вначале убывает.
При исследовании на функциях 1/x и sin2x влияния увеличения верхнего предела на точность установлено что, на точность интегрирования функции 1/x увеличение верхнего предела почти не влияет, это видно по графику на рисунке 10.
А вот на функцию sin2x увеличение верхнего предела влияет значительно. При малых значениях итераций с увеличением предела точность ухудшается, а вот при итерациях > 4-5 значительное улучшение.
Описание применения
Назначение программы
Данная программа предназначена для исследования внутренней сходимости численного интегрирования.
Условия применения.
Программа предъявляет очень скромные требования к ресурсам вычислительной установки. Для компиляции и сборки программы используется Microsoft Visual С++ 2005.
Описание задачи
Построить зависимости количества итераций от различный величин критерия точности.
Построить обратные зависимости критерия точности от количества итераций.
Повторить все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла на смежных итерациях относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.
Исследовать влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных величинах).
