Метод аналогії є одним з ефективних і розповсюджених методів математики. Його застосування приводить до плідних і часто до неочікуваних результатів.
Деякі властивості трикутника і тетраедра схожі, а деякі геометричні поняття, пов’язані з трикутником, мають просторові аналоги: наприклад, сторона трикутника – грань тетраедра, довжина сторони – площа грані, вписане коло – вписана сфера, площа – об’єм,бісектриса кута – бісектор двогранного кута тощо. Багато теорем про трикутники, якщо замінити в їх формулюванні планіметричні терміни відповідними стереометричними і конкретно сформулювати, то вони перетворюються в теореми про тетраедри. Однією з таких є аналог теореми Піфагора в стереометрії.
Означення. Якщо три ребра, які виходять з однієї вершини тетраедра, попарно ортогональні, то тригранний кут, що визначається ними, називається прямим, а тетраедр – прямокутним.
Теорема (стереометричний аналог теореми Піфагора).У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежить проти прямого тригранного кута, дорівнює сумі квадратів площ решти граней.
Доведення 1. Нехай у прямокутному тетраедрі OABC
(Рис.2.1)
Доведемо, що
Маємо:
(1)
У Δ АВС:
, (2)
Площу трикутника АВС обчислимо за формою Герона
, де
Виконаємо перетворення:
,
.
Використовуючи (2), (3), одержимо:
тобто (4)
Враховуючи (1), (4), одержимо
Розглянемо доведення, в якому використовується метод проекцій
Доведення 2
Нехай у прямокутному тетраедрі ОАВС грані ОВС, ОАС, ОАВ утворюють з основою АВС кути відповідно. Оскільки точка О проектується в ортоцентр Н трикутника АВС, то лінійні кути двогранних кутів при основі утворюватимуться висотами відповідних граней: (Рис. 2.2).Спроектуємо висоту ОН на ребра прямого тригранного кута, одержимо: ОА1=ОН (Рис. 2.3), аналогічно ОВ1=ОН , OC1=OH .
У прямокутному паралелепіпеді з діагоналлю ОН і ребрами ОА1, ОВ1, ОС1 справджується рівність
або ,
звідки (1)
Оскільки то ΔAOB – ортогональна проекція ΔАВС, аналогічно ΔAOC – ортогональна проекція ΔАВС і ΔBOС – ортогональна проекція ΔАВС.
Маємо:
,
звідси . (2)
Враховуючи (1) і (2), одержимо:
, або .
Пропонуємо інші доведення теореми Піфагора для прямокутного тетраедра.
Доведення 3
Нехай у прямокутному тетраедрі ОАВС
, (Рис. 2.4).
Побудуємо висоту СН трикутника АВС і сполучимо точки О і Н.
Маємо: СН – похила, ОН – її проекція, СН АВ. За теоремою про три перпендикуляри ОН АВ. Знайдемо площу трикутника АВС:
З ΔСОН ( О = 90°) (2)
Знайдемо ОН, для цього виразимо площу трикутника АОВ через катети, тобто
(3),
теорема піфагор площина простір
і через гіпотенузу АВ та висоту ОН, опущену на неї, тобто
або (4)
З рівностей (3), (4)
,
звідки . (5)
Враховуючи (2), (5), одержимо:
(6)
Спосіб 1. Враховуючи (1), (6) одержимо:
Тоді
.
Спосіб 2. Можна використати формулу проекцій
Оскільки
і
,
то ,
звідки
або .
Доведення 4. Нехай у тетраедрі ОАВС , , лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ (Рис. 2.5). Припустимо, що виконується рівність
. (1)
Оскільки ΔАОВ – ортогональна проекція ΔАВС, то
(2)
Враховуючи рівності (1) і (2), одержимо:
. (3)
З ΔАОВ ( О = 90°) ,
тоді ,
звідки , або . З ΔСОН ()
Крім цього,
Формула (3) набуває вигляду
,
тобто
Останній вираз є вірною рівністю, одержаною з рівності (1) за допомогою тотожних перетворень, тому можна зробити висновок: початкове припущення вірне і справедлива теорема: У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежить проти прямого тригранного кута дорівнює сумі квадратів площ решти граней.
Доведення 5. Нехай ОН – висота прямокутного тетраедра ОАВС з прямим тригранним кутом при вершині О, тоді АН1 – висота ΔАВС (Рис.2.6).
З ΔАОН1 (наслідок з теореми Піфагора)
Помноживши цю рівність на , одержимо:
або ,
або (1)
Аналогічно одержимо:
, (2)
(3)
Додамо почленно рівності (1), (2), (3), одержимо
.
Таким чином,
Доведення 6. Нехай у тетраедрі ОАВС , ΔАНС – ортогональна проекція ΔАОС на площину трикутника АВС (Рис.2.6).
Позначимо - лінійний кут двогранного кута при ребрі АС. Тоді
(1)
Оскільки ΔАОС – ортогональна проекція ΔАВС, то
(2)
З (1), (2) слідує
,
звідки . (3)
Аналогічно одержимо
(4),
.
Додамо почленно (3), (4), (5), одержимо:
.
Таким чином,
.
Доведення 7. Нехай у прямокутному тетраедрі ОАВС , .Виберемо прямокутну декартові систему координат так, що вісь сумістилась з прямою ОА, вісь - з прямою ОВ, а вісь - з прямою ОС і розглянемо вектори і (Рис. 2.7). Маємо в :
Оскільки
^ , .
Отже,
(1)
Обчислимо
(2),
(3)
Враховуючи (1), (2), (3), одержимо
,
звідки .
З ΔАСН .
Маємо .
Тоді
Оскільки
,
то ,
звідси або
Доведення 8. Для обчислення площі трикутника АВС (Рис.2.7) використаємо геометричне тлумачення векторного добутку двох векторів, а саме:
Оскільки
,
то одержимо:
Тоді
Таким чином,
,
звідки
Враховуючи, що
,
остаточно одержимо
Доведення 9. У вибраній системі координат координати вершин тетраедра ОАВС (Рис.2.8) набудуть вигляду: .
Об’єм тетраедра можна обчислити за формулою:
,
де () – координати вершин тетраедра.
Застосуємо цю формулу
. (1)
З іншого боку
(2),
де ОН – висота тетраедра (Рис. 2.6).
Висоту ОН знайдемо як відстань від точки О до площини трикутника АВС. Для цього складемо рівняння площини (АВС) "у відрізках на осях":
або
Тоді
. (3)
З (1), (2), (3) слідує
,
звідки
або .
Доведення 10. Використаємо (рис.2.8) і позначення на ньому. Висоту ОО1 обчислимо як відстань між точками О і О1, для цього складемо рівняння прямої ОО1. Рівняння площини (АВС) має вигляд
(див. розв’язання 9),
де — вектор нормалі.
Оскільки , то (як два перпендикуляри до площини).
Таким чином, вектор — напрямний вектор прямої ОО1. Канонічні рівняння прямої ОО1 набудуть вигляду:
,
звідси одержимо параметричні рівняння ОО1:
Обчислимо координати точки О1, розв'язавши систему рівнянь:
Тоді (1)
Обчислимо об’єм тетраедра ОАВС за формулою
, тоді . (2)
Враховуючи, що
,
одержимо:
,
звідки
або .
Доведення 11. Теорему Піфагора для прямокутного тетраедра можна розглядати як наслідок теореми косинусів для довільного тетраедра [3], яка формулюється так: квадрат площі будь-якої грані тетраедра дорівнює сумі квадратів площ інших граней без подвоєних добутків площ цих граней, взятих попарно, на косинус двогранних кутів між ними, тобто
. (1)
У прямокутному тетраедрі двогранні кути прямі і з теореми косинусів (1) одержимо співвідношення
площі граней - катетів, а - площа грані - гіпотенузи.
Таким чином, стереометричний аналог теореми Піфагора можна сформулювати так: У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані гіпотенузи дорівнює сумі квадратів площ граней - катетів.
Зауваження. Має місце наслідок з цієї теореми: площі граней - катетів є середніми геометричними між площею грані — гіпотенузи і площами їх проекцій на грань - гіпотенузу (див. доведення 5).
Висновок
Мабуть, найпопулярнішою з усіх теорем є теорема Піфагора. Причинами такої популярності є простота, краса, значення. Справді, теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечностей і надає їй особливої привабливості.Теорема Піфагора - важливий інструмент геометричних обчислень. Використовуючи її, можна обчислити у планіметрії діагональ квадрата і прямокутника, висоту, медіану, бісектрису рівностороннього або рівнобедреного трикутника, висоту рівностороннього трикутника, радіуси вписаного і описаного кіл правильного трикутника, рівнобедреного трикутника тощо.
Теорема Піфагора використовується при розв’язанні трикутників, у теорії площ.
У стереометрії теорема Піфагора застосовується при обчисленні висоти, ребра або апофеми правильної піраміди, при вивченні многогранників, тіл обертання та їх комбінацій.
Взагалі, перелічити з достатньою повнотою всі випадки, де використовується теорема Піфагора в геометрії неможливо. Вона має не лише теоретичний характер, а й широко використовується на практиці при розрахунках покрівель дахів, верхніх частин вікон у будинках готичного і романського стилю, паркетуванні підлоги тощо.
З теореми Піфагора випливає чимало наслідків, які є її вінцем, зокрема:
- у прямокутному трикутнику будь – який катет менший від гіпотенузи;
- косинус кута а менше одиниці для будь – якого гострого кута а;
- якщо до прямої з однієї точки провести перпендикуляр і похилі,то похилі більші перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції; з двох похилих більша та, у якої проекція більша.
Сама теорема Піфагора є наслідком теореми: косинус кута залежить лише від градусної міри кута. Тому, якщо теорему Піфагора «вплести» у вінок її наслідків, то отримаємо вінок наслідків теореми про косинус кута.
Із означень sinα, cosα, tgα випливають такі властивості:
- катет, протилежний куту α, дорівнює добутку гіпотенузи на sinα;
- катет, прилеглий до кута α, дорівнює добутку гіпотенузи на cosα;
- катет, протилежний куту α, дорівнює добутку другого катета на tgα;
- катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу;
- висота прямокутного трикутника, опущена з вершини прямого кута, є середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу.
Вся геометрія складеться з таких прекрасних віночків, слід лише придивитись до них, звертати на них увагу, порівнювати, запам’ятовувати і вміло використовувати їх при розв’язанні задач.
Література
1. Боровик В.Н., Зайченко І.В., Кобко Л.М. «Гармонія і естетика трикутника». Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів – 2-е вид., виправл. і доп.. Рекомендовано МОН України – К.: Освіта України, 2007. – 180с.
2. Кобко Л.М. «Аналогія: планіметрія–стереометрія в таблицях». Навчальний посібник для студентів педагогічних вищих навчальних закладів. – Чернігів, 2008.- 64с.
3. Кобко Л.М. «У світі геометрії». Навчально–методичний посібник для студентів педагогічних вищих навчальних закладів. – Чернігів, 2009.- 209с.