Метод градиентного спуска

Рассмотрим функцию f, считая для определенности, что она зависит от трех переменных x,y,z. Вычислим ее частные производные дf/дх, дf/ду, дf/дz и образуем с их помощью вектор, который называют градиентом функции:

grad f(x, у, z) = дf (х, у,z) /дх*i+дf(x, у, z)/ду*j+дf(x, y,z)/дг*k.

Здесь i, j, k - единичные векторы, параллельные координатным осям. Частные производные характеризуют изменение функции f по каждой независимой переменной в отдельности. Образованный с их помощью вектор градиента дает общее представление о поведении функции в окрестности точки (х, у,z). Направление этого вектора является направлением наиболее быстрого возрастания функции в данной точке. Противоположное ему направление, которое часто называют антиградиентным, представляет собой направление наиболее быстрого убывания функции. Модуль градиента grad (х, у,z)дf/дх (х, у,z))2 +(дf/ду(x, у, z))2+(дf/дг(x, y,z))2. определяет скорость возрастания и убывания функции в направлении градиента и антиградиента. Для всех остальных направлений скорость изменения функции в точке (х, у, z) меньше модуля градиента. При переходе от одной точки к другой как направление градиента, так и его модуль, вообще говоря, меняются. Понятие градиента естественным образом переносится на функции любого числа переменных.

Перейдем к описанию метода градиентного спуска. Основная его идея состоит в том, чтобы двигаться к минимуму в направлении наиболее быстрого убывания функции, которое определяется антиградиентом. Эта идея реализуется следующим образом.

Выберем каким-либо способом начальную точку, вычислим в ней градиент рассматриваемой функции и сделаем небольшой шаг в обратном, антиградиентном направлении. В результате мы придем в точку, в которой значение функции будет меньше первоначального. В новой точке повторим процедуру: снова вычислим градиент функции и сделаем шаг в обратном направлении. Продолжая этот процесс, мы будем двигаться в сторону убывания функции. Специальный выбор направления движения на каждом шаге позволяет надеяться на то, что в данном случае приближение к наименьшему значению функции будет более быстрым, чем в методе покоординатного спуска.

Метод градиентного спуска требует вычисления градиента целевой функции на каждом шаге. Если она задана аналитически, то это, как правило, не проблема: для частных производных, определяющих градиент, можно получить явные формулы. В противном случае частные производные в нужных точках приходится вычислять приближенно.

Отметим, что при таких расчетах gi,нельзя брать слишком малым, а значения функции нужно вычислять с достаточно высокой степенью точности, иначе при вычислении разности

f(x1,...,xi+ gi,..., xn) - f(x1,..., xi,..., xn)

f(x1,...,xi+ gi,..., xn) - f(x1,..., xi- gi,..., xn)

будет допущена большая ошибка.

Первый алгоритм требует меньших затрат по сравнению со вторым (обычно затраты выражаются количеством вычислений критерия оптимальности), но позволяет получить решение менее точно, чем второй, эта погрешность зависит от величины пробного шага