Пример применения нейронной сети

 

Одним из ярких примеров является предсказание финансовых рядов. В особенности - определение знака изменения котировки на валютном рынке.

Найдем, как связана норма прибыли с точностью определения знака в простейшей постановке ежедневного вхождения в рынок

 

 

Обозначим на момент : полный капитал игрока , относительное изменение котировки , а в качестве выхода сети возьмем степень ее уверенности в знаке этого изменения . Такая сеть с выходной нелинейностью вида  обучается предсказывать знак изменения и выдает прогноз знака с амплитудой пропорциональной его вероятности. Тогда возрастание капитала на шаге  запишется в виде:

 

 

где  - доля капитала, "в игре". Выигрыш за все время игры:

 

нам и предстоит максимизировать, выбрав оптимальный размер ставок . Пусть в среднем игрок угадывает долю  знаков и, соответственно, ошибается с вероятностью . Тогда логарифм нормы прибыли,

 

,

 

а, следовательно, и сама прибыль, будет максимальным при значении  и составит в среднем:

 

.

 

Здесь мы ввели коэффициент . Например, для Гауссова распределения . Степень предсказуемости знака напрямую связана с кросс-энтропией, которую можно оценить a priory методом box-counting. Для бинарного выхода (см.Рисунок 1):

 

Рисунок 1.

 

В итоге получаем следующую оценку нормы прибыли при заданной величине предсказуемости знака , выраженной в битах:

 

.

 

То есть, для ряда с предсказуемостью в принципе возможно удвоить капитал за  вхождений в рынок. Так, например, измеренная выше предсказуемость временного ряда S&P500, равная предполагает удвоение капитала в среднем за  вхождений в рынок. Таким образом, даже небольшая предсказуемость знака изменения котировок способна обеспечить весьма заметную норму прибыли.

Подчеркнем, что оптимальная норма прибыли требует достаточно аккуратной игры, когда при каждом вхождении в рынок игрок рискует строго определенной долей капитала:

,

 

где  - типичная при данной волатильности рынка  величина выигрыша или проигрыша.[1] Как меньшие, так и большие значения ставок уменьшают прибыль. Причем, чересчур рискованная игра может привести к проигрышу при любой предсказательной способности. Этот факт иллюстрирует Рисунок 2.

 

Рисунок 2.

 

Поэтому приведенные выше оценки дают представление лишь о верхнем пределе нормы прибыли. Более тщательный анализ с учетом влияния флуктуаций, выходит за рамки нашего изложения. Качественно понятно, однако, что выбор оптимального размера контрактов требует оценки точности предсказаний на каждом шаге.