2020-01-14
118
Одним из ярких примеров является предсказание финансовых рядов. В особенности - определение знака изменения котировки на валютном рынке.
Найдем, как связана норма прибыли с точностью определения знака в простейшей постановке ежедневного вхождения в рынок
Обозначим на момент 
: полный капитал игрока 
, относительное изменение котировки 
, а в качестве выхода сети возьмем степень ее уверенности в знаке этого изменения 
. Такая сеть с выходной нелинейностью вида 
обучается предсказывать знак изменения и выдает прогноз знака с амплитудой пропорциональной его вероятности. Тогда возрастание капитала на шаге 
запишется в виде:
где 
- доля капитала, "в игре". Выигрыш за все время игры:
нам и предстоит максимизировать, выбрав оптимальный размер ставок 
. Пусть в среднем игрок угадывает долю 
знаков и, соответственно, ошибается с вероятностью 
. Тогда логарифм нормы прибыли,
,
а, следовательно, и сама прибыль, будет максимальным при значении 
и составит в среднем:
.
Здесь мы ввели коэффициент 
. Например, для Гауссова распределения 
. Степень предсказуемости знака напрямую связана с кросс-энтропией, которую можно оценить a priory методом box-counting. Для бинарного выхода (см.Рисунок 1):
Рисунок 1.
В итоге получаем следующую оценку нормы прибыли при заданной величине предсказуемости знака 
, выраженной в битах:
.
То есть, для ряда с предсказуемостью в принципе возможно удвоить капитал за 
вхождений в рынок. Так, например, измеренная выше предсказуемость временного ряда S&P500, равная 
предполагает удвоение капитала в среднем за 
вхождений в рынок. Таким образом, даже небольшая предсказуемость знака изменения котировок способна обеспечить весьма заметную норму прибыли.
Подчеркнем, что оптимальная норма прибыли требует достаточно аккуратной игры, когда при каждом вхождении в рынок игрок рискует строго определенной долей капитала:
,
где 
- типичная при данной волатильности рынка 
величина выигрыша или проигрыша.[1] Как меньшие, так и большие значения ставок уменьшают прибыль. Причем, чересчур рискованная игра может привести к проигрышу при любой предсказательной способности. Этот факт иллюстрирует Рисунок 2.
Рисунок 2.
Поэтому приведенные выше оценки дают представление лишь о верхнем пределе нормы прибыли. Более тщательный анализ с учетом влияния флуктуаций, выходит за рамки нашего изложения. Качественно понятно, однако, что выбор оптимального размера контрактов требует оценки точности предсказаний на каждом шаге.
