2020-01-14
392
Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.
Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2 > х1, выполнено неравенство f(x2) > f(x1).
Функция f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2 > х1, выполнено неравенство f(x2) < f(x1).
Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (xmin) и максимума (xmax).
Точка х0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≤ f(x0).
Точка х0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f(x) ≥ f(x0).
Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.
Пример 9. Найти точки экстремума, экстремумы функции y = x2+2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.
у = x2+2x, D(y) = R
y’ = (x2+2x)’ = 2x+2
y’ = 0, т.е. 2х+2 = 0
2х = -2
х = -1
Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.
x = -2, y’= -4+2<0
x = 0, y’= 0+2>0
Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х = -1, это точка минимума функции. Так как функция непрерывна в точке х = -1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1].
Точки экстремума: xmin = -1
Экстремумы функции: ymin = y(-1) = 1 – 2 = -1
Глава 3. Исследование функций
Общая схема исследования функций
Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:
1) D(y) – область определения (область изменения переменной х)
2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у)
3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.
4) Точки пересечения графика функции с осями Ох и Оу (по возможности).
5) Промежутки знакопостоянства:
а) функция принимает положительное значение: f(x) > 0
б) отрицательное значение: f(x) < 0.
6) Промежутки монотонности функции:
а) возрастания;
б) убывания;
в) постоянства (f = const).
7) Точки экстремума (точки минимума и максимума)
8) Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума)
9) Дополнительные точки.
Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.
Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.
