2020-04-20
209
1. Векторное поле.
Определение: Если в каждой точке P области D задан определенный вектор, то будем говорить, что в этой области задано векторное поле.
Примерами векторных полей служат силовое поле (поле тяготения, электрическое и электромагнитное поля) и поле скоростей текущей жидкости.
Векторное поле задано, если в каждой точке Р поля указан соответствующий этой точке вектор А(Р). Рассмотрим стационарные поля, в которых вектор А(Р) зависит только от точки Р и не зависит от времени. Проекции вектора А(Р) на оси координат обозначим через Ax, Ay, Az. Если точка Р имеет координаты x, y, z, то и сам вектор А(Р), и его проекции можно записать А(Р)=Ax(x, y, z) i+Ay(x, y, z) j+Az(x, y, z) k.
Дальше всюду предлагается, что функции Ax, Ay, Az непрерывны вместе со своими частными производными. Рассмотрим некоторые частные случаи векторных полей.
) Однородное поле.
Определение. Векторное поле называется однородным, если А(Р) - постоянный вектор, то есть Ax, Ay, Az - постоянные величины.
Примером однородного поля может служить поле тяжести.
) Плоские поля.
Определение. Если в выбранной системе координат проекции вектора не зависят от одной их трех переменных x, y, z и одна из проекций равна нулю, например: А(Р)=Ax(x, y) i+Ay(x, y) j, то поле называется плоским. С плоскими полями очень часто приходится встречаться в гидродинамике при изучении плоских течений жидкости, то есть таких течений, когда все частицы жидкости движутся параллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц, расположенных на одной и той же прямой, перпендикулярной к этой плоскости, одинаковы.
Рассмотрим еще один важный физический пример.
Пусть твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью w. Найдем поле линейных скоростей точек этого тела.
Как известно из кинематики, линейная скорость V равна векторному произведению
где w - вектор угловой скорости (то есть и численно равный величине угловой скорости; этот вектор направлен так, что если смотреть из его конца, вращение кажется происходящим против часовой стрелки), а r - радиус-вектор точки М вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Выбрав эту неподвижную точку за начало координат и направив ось вращения по оси Oz (рис. 1.5.), найдем проекции вектора V.
Рис. 1.5. Направление вектора линейной скорости
Имеем
w=wz k, r=xi+yj+zk.
Таким образом, Vx=-wy, Vy=wx, Vz=0 то есть поле является плоским.
. Векторные линии.
Определение. Векторной линией векторного поля называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением вектора, соответствующего этой точке (рис. 1.6.).
Рис. 1.6. Векторная линия
Векторные линии в конкретных полях имеют ясный физический смысл. Так, если мы рассматриваем поле скоростей текущей жидкости, то векторные линии суть линии тока этой жидкости, то есть линии, по которым движутся частицы жидкости. В электрическом поле векторные линии суть силовые линии этого поля. Например, в поле точечного заряда такими линиями будут лучи, выходящие из заряда. Для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном. Изучение расположения силовых линий в электрических, магнитных и электромагнитных полях очень важно в физике.
Выведем уравнения векторных линий.
Пусть векторное поле определено функцией А(Р)=Axi+Ayj+Azk (для краткости аргументы функций Ax, Ay, Az не выписаны). Если векторная линия имеет параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), z=z(t), то проекции направляющего вектора касательной к этой линии пропорциональны производным x'(t), y'(t), z'(t), или, что то же самое, дифференциалам dx, dy, dz. Записывая условия параллельности вектора А(Р) и вектора, направленного по касательной к векторной линии, получим
(1)
Система уравнений (1) представляет собой систему дифференциальных уравнений семейства векторных линий поля А(Р).
Если поле плоское, то есть Az=0, то векторные линии лежат в плоскостях, параллельных плоскости Oxy, и их уравнения имеют вид
