Простейшие векторные поля

Простейшими векторными полями являются такие поля, для которых либо divA(P)=0, либо rotA(P)=0, либо, наконец, равны нулю и дивергенция и ротор.

Трубчатое (соленоидальное) поле

Определение. Векторное поле, для всех точек которого дивергенция равна нулю, называется трубчатым или соленоидальным.

    Поясним смысл этого названия. Возьмем в этом поле какую-нибудь площадку S₀ и проведем через каждую точку её границы векторные линии. Эти линии ограничивают часть пространства, называемую векторной трубкой (рис. 2.1.)

Рис. 2.1. Векторная трубка

Жидкость при своем течении все время движется по такой трубке, не пересекая её стенок. Рассмотрим часть такой трубки, ограниченную площадкой S₀ и каким-нибудь сечением S₁. Так как по условию div A(P)=0, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Следовательно,

где S - боковая поверхность трубки, а n - внешняя нормаль. Так как на боковой поверхности трубки нормали n перпендикулярны к векторам поля, то  Отсюда следует, что .

Переменив направление нормали на площадке S₀, то есть взяв внутреннюю нормаль n^', получим .

Это значит, что поток вектора в направлении векторных линий через каждое сечение векторной трубки один и тот же, то есть в поле без источников через каждое сечение векторной трубки проникает одно и тоже количество жидкости.

div rotA(P)=0, то есть поле ротора любого векторного поля - трубчатое.

Справедливо и обратное утверждение.

Каждое трубчатое поле является полем ротора некоторого векторного поля, то есть если divA(P)=0, то существует такое векторное поле B(P), что A(P)=rotB(P).

Вектор B(P) называют вектором-потенциалом данного поля.