Вибір критерію оптимальності системи

Дуже важливим при розв'язанні задач оптимізації є питання вибору критерію оптимальності системи. Саме критерій оптимальності визначає істинну цінність проектованої системи. Ніякі зручності математичного чи іншого характеру не можуть компенсувати шкідливих наслідків застосування неадекватного критерію оптимальності системи.

Вибір критерію оптимальності, як уже зазначалося, зв'язаний з формалізацією уяви замовника системи про її оптимальність. Існує два підходи до опису переваги одного варіанта системи над іншим: ординалістичний і кардиналістичний.

Кардиналістичний підхід до опису переваги замовника приписує кожній системі  якесь числове значення функції корисності . Функція корисності визначає відповідний порядок (або перевагу)  на множині  тоді і тільки тоді, коли для різних варіантів   виконуєтся нерівність . У цьому випадку кажуть, що функція корисності  є індикатором переваги . Фактично цей підхід зв'язаний із заданням такої скалярної цільової функції, оптимізація якої у загальному випадку може привести до вибору єдиного найкращого варіанту системи.

Однак на початкових етапах проектуваннях систем задати скалярну функцію корисності досить складно, тому спочатку вводять сукупність показників якості та зв’язаних з ними цільових функцій (1). Це пов'язано з такими причинами: багатогранність технічних вимог, які висуваються до проектуємої системи; необхідність забезпечення оптимальності системи за різних умов її роботи; система складається з декількох взаємозалежних між собою підсистем і оптимальність системи в цілому визначається ефективністю її складових частин.

У зв’язку з тим, що систему  доводиться характеризувати сукупністю показників якості (цільових функції), це ускладнює процес вибору оптимальних варіантів систем. При цьому мають місце три випадки: показники якості не пов'язані між собою; показники якості зв'язані між собою, але є узгодженими; показники якості зв'язані між собою і є конкуруючими (антагоністичними).

У першому випадку знаходження оптимальних варіантів системи виконується шляхом оптимізації по кожній із цільових функцій незалежно

.                                                         (2)

У другому випадку оптимальні варіанти можуть знаходитися також шляхом оптимізації окремих цільових функцій, тобто цей випадок близький до першого.

У третьому випадку оптимуми по різним цільових функціях не збігаються. Розв’язанням цієї задачі є узгоджений оптимум цільових функцій. Узгоджений оптимум полягає в тому, що досягається мінімальне (максимальне) значення кожнієї цільової функції за умови, що інші цільові функції приймають фіксовані, але довільні значення.

Ординалістичний підхід апелює до порядку (краще-гірше) і базується на введенні певних бінарних відношень на множині допустимих систем. У цьому випадку поняття переваги замовника системи - це бінарне відношення  на множині допустимих систем , яке відображує уяву замовника системи, що система  краща за систему : .

На практиці часто при виборі системи на множині  можна керуватися відношенням строгої переваги , що є асиметричним і транзитивним. При цьому система  називається оптимальною за відношенням , якщо не існує іншої системи , для якої справедливе відношення . Множина оптимальних систем за відношенням  означається як . Залежно від структури допустимої множини  і властивостей відношення  множина оптимальних систем може включати єдиний елемент, скінченне або нескінченне число елементів. Якщо відношення нероздільності збігається з відношенням рівності , то множина  (якщо вона не порожня) складається з єдиного елемента.

Із введенням сукупності цільових функцій кожна система відображується на простір векторних оцінок (критеріальний простір). При цьому вказане відношення строгої переваги існує і для оцінок. Узгодженість відношення переваги на множині проектних рішень  і просторі векторних оцінок  встановлює аксіома Парето. Згідно з нею для будь-яких двох векторних оцінок , що задовольняють векторну нерівність , завжди виконується відношення .

Множину оптимальних оцінок відносно  на просторі  називають множиною Парето-оптимальних (оптимальних за Парето) або ефективних оцінок і позначають . Включення   має місце тоді і тільки тоді, коли немає оцінок, для яких виконується нерівність . Такий критерій вибору оптимальних рішень називають безумовним критерієм переваги (БКП) або критерієм Парето.

Проектні рішення, тобто варіанти побудови системи , для яких справджується включення  називають Парето-оптимальними відносно векторної цільової функції  на множині  і позначають як . Іншими словами,  тоді і тільки тоді, коли не існує такої системи , для якої виконується векторна нерівність. 

.                                                             (3)

Співвідношення (3) означає, що виконуються нерівності для всіх  і принаймні для одного з показників якості виконується строга нерівність.

Слід зазначити, що відношення строгої переваги , яке має місце для векторних оцінок, перетворюється при  на відношення  для скалярних оцінок. При цьому Парето-оптимальна оцінка збігається з максимальним елементом множини , якому відповідає оптимум скалярної цільової функції . Таким чином, поняття Парето-оптимальності слід розглядати як узагальнення поняття оптимуму на випадок кількох цільових функцій. При цьому оптимум за Парето - це узгоджений оптимум зв'язаних між собою і конкуруючих показників якості системи.

Для Парето-оптимальних проектних рішень характерні такі властивості:

1. Усі елементи множини допустимих варіантів системи , що не належать до множини Парето-оптимальних , є безумовно гіршими.

Жодна Парето-оптимальна система змножини  не може бути визнана безумовно гіршою або кращою порівняно з іншою системою цієї множини. Це означає, що всі вони є незрівнянними за критерієм Парето - безумовним критерієм переваги.

3. Якщо множина  узгоджена, тобто містить лише один елемент (систему), то відповідний варіант системи є найкращим.

4. Кожній Парето-оптимальній системі відповідає потенціально можливе значення кожного із показників якості , що може бути досягнуто за фіксованих, але довільних значень інших  показників якості. Це властивість -кратного оптимуму. Сукупність таких оптимальних значень показників якості є багатовимірними потенціальними характеристиками системи (БПХ).

5. Оптимальна поверхня, що є геометричним місцем Парето-оптимальних оцінок, має строго монотонний характер, тобто кожна із функцій

,

,                                                    (4)

..........................

для Парето-оптимальних оцінок монотонно спадає щодо кожного з аргументів. Ці залежності називаються багатовимірними діаграмами обміну (БДО) для Парето-оптимальних систем.

Порівняно з одновимірними потенціальними характеристиками системи БПХ та зв'язані з ними БДО характеризуються двома важливими властивостями. По-перше, вони дають найкраще (потенціальне можливе) значення не одного, а кожного з обраних показників якості. По-друге, вони вказують, яким чином слід змінити значення одних показників якості для поліпшення інших показників якості і за рахунок якої зміни структури чи параметрів системи це можна зробити.