Замечательные пределы (уметь доказывать следствия)

Замечательный предел это важных тождества, которые помогают существенно упростить работу по нахождению пределов.

Первый замечательный предел записывается так (неопределенность вида 0/0):

lim_x→0(sinx/x)=1.

Следствия из первого замечательного предела

lim_x→0(x/sinx)=1.

lim_x→0(sin(ax)/sin(bx))=a/b.

lim_x→0(tanx/x)=1.

lim_x→0(arcsinx/x)=1.

lim_x→0(arctanx/x)=1.

lim_x→0((1−cosx)/x²)=1.

Второй замечательный предел записывается так (неопределенность вида 1^∞):

lim_x→∞(1+1x)^∞=e, или lim_x→0(1+x)^1/x=e.

Следствия второго замечательного предела

lim_x→∞(1+ax)^bx=e^ab.

lim_x→0(ln(1+x))/x=1.

lim_x→0(e^∞−1)/x=1.

lim_x→0(a^∞−1)/(xlna)=1,a>0,a≠1.

lim_x→0((1+x)^a−1)/ax=1.

Бесконечно малые функции

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или  , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Эквивалентность бесконечно малых функций

Б.м. функции и   называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при  , если

 Обозначают: при  .