Дисперсия. Свойства дисперсии. Дисперсия альтернативного признака

Дисперсия ( ) – это средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической.

 

В зависимости от исходных данных дисперсия вычисляется:

– простая или    – взвешенная.

 Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна 0.

2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину не изменяет величину дисперсии:

3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k ²раз:

4. Средний квадрат отклонений, исчисленный от среднего арифметического, всегда будет меньше среднего квадрата отклонений, исчисляемого от любой другой величины:

> .

Величина различия между ними вполне определенная, это квадрат разности между средней и этой условной величиной А.

 

 

Используя свойства среднего и дисперсии, можем получить более простую формулу расчёта последней.

 

Действительно:

Теперь, раскроем скобки.

Т.к. средняя арифметическая для заданного набора данных является величиной постоянной, то для удвоенного произведения можно применить свойство 1 средней:

Разделим каждое слагаемое числителя на n.

Последний штрих.

 

Дисперсия альтернативного признака

 

Если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной.

В таких случаях наличие признака обозначается единицей, а его отсутствие - нулем. Доля единиц, обладающих признаком, обозначается через р, доля остальных единиц через   q = 1 - р.

 

Средняя величина альтернативного признака:

 

Дисперсия альтернативного признака: