Определение интерполяционного полинома Лагранжа

 

Для метода Лагранжа значение n+1=5, то есть порядок интерполяционного полинома n=4.

В общем случае интерполяционный полином Лагранжа представляется как:

где: y _i – значение исходной таблицы данных.

  Q _i – вспомогательные функции.

Для нашего случая полином 4-го порядка равен:

 

1.2.4 Определение вспомогательных функций Q_i(x)

 

Вспомогательные функции Q_i(x) определяются как

Для нашего полинома вспомогательные функции будут следующими:

1.2.5 Определение интерполяционного полинома

 

Подставляя вспомогательные функции и значения ординат узлов интерполяции получаем необходимую интерполяционную функцию.

L ₄(x) = y₀  + y₁  +

+ y₂  + y₃  +

+ y₄  

Восстановление исходной функции в заданной точке, при помощи интерполяционного полинома

 

Примем точку, в которой будем восстанавливать исходную функцию за x = -2.

L ₄(-2) = -14.121 + +4.206 - 0.99    -

 6.294   +9.031  

L ₄(-2) = -5.66335

 

1.2.7 Определение погрешности интерпо­ляции путем сравнения значения х, полученного по интерполяционному полиному, и рассчитанного по f(x)

 

Рис.1 - Определение интерполяционного полинома Лагранжа

f (-2) = -2 +10sin(-2+1) = -10.4147

Для оценки погрешности между исходной и интерполяционной функции воспользуемся формулой:

R (-2)=|-10.4147 – (-5.6636)| = 4.75115

Вывод

Мы получили значительную погрешность и для того, чтобы её снизить необходимо увеличить число узлов на заданном интервале.

 

 

ЗАДАНИЕ 2

2.1 Условие

Используя полученные на предыдущем этапе точки построить аппроксимирующие полиномы второго порядка у = a₂х² + a₁x + a₀ ме­тодом наименьших квадратов при всех одинаковых весовых коэффициен­тах и при весовом коэффициенте в третьей точке в 3 раза большем, чем в остальных (т.е. при ₃=3). Получить среднеквадратичную погрешность аппроксимации, величину квадратичного критерия близости и расчётное значение y в третьей точке. Сравнить полученные результаты. Сделать выводы о том, устраивает ли полученное аппроксимирующее уравнение второго порядка по погрешности, сравнивая среднеквадратичную погрешность с заданной погрешностью в обоих случаях, т.е. и при всех одинаковых весовых коэффициентах и при ₃=3. Если результат не устраивает, то наметить путь, что делать в таком случае дальше. Также проанализировать, как повлияло введение весового коэффициента ₃=3 на точность аппроксимации в третьей точке (по величине абсолютной погрешности в этой точке) и на точность аппроксимации в целом, (по величине критерия близости).

Примечание: Задача аппроксимации, таким образом, выполняется дважды. В обоих случаях необходимо привести выводы всех расчётных формул и алгоритм расчёта, а не просто результат по готовому пакету программ.

2.2 Решение

 

Зачётная книжка № Д-12091; N₁₀ = 91/10 остаток 1

   

2.2.1 Исходные данные из предыдущей задачи

f(x) = x + 10sin(x+1); интервал [-10;5/4]

Таблица 3 – исходные данные

Номер узла	Значение аргумента, x	Значение функции, f(x)
0	-10	-14.1212
1	-7	-4,20585
2	-4,5	-0,99217
3	-1.5	-6,294
4	1,25	9,030732

 

2.2.2 Определение аппроксимирующей функции при помощи метода наименьших квадратов для равных весовых коэффициентов

 

В общем случае квадратичный критерий близости равен:

;  (1)

;     (2)

где - заданные табличные значения функции;

  - расчетные значения по аппроксимирующей функции;

 - весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i -й

        точки.

В качестве аппроксимирующего уравнения выбираем уравнение второго порядка с n =5:

;  (3)

В качестве критерия близости – критерий (1).

Из математического условия минимума функции R, после постановки уравнения (3) в выражение (1) принимает вид:

;      (4)

R = f (d₀; d₁; d₂) – является равенством 0, частных производных этой функции.                                  

  - математическое условие.              (5)

Из решения системы (5) находим коэффициенты d₀; d₁; d_{2 .}

 Þ  

 

После преобразования (сокращения на два, раскрытия скобок, изменения порядка суммирования) получим:

Þ (6)

= 5 d ₀;

= -10 – 7 - 4,5 - 1,5 + 1,25 = -21,75

= (-10)² + (-7)² + (-4,5)² + (-1,5)² +1,25² = 173,0625

= (-10)³ + (-7)³ + (-4,5)³ + (-1,5)³ +1,25³ = -1435,547

= (-10)⁴ + (-7)⁴ + (-4,5)⁴ + (-1,5)⁴ +1,25⁴ = 12818,566

=  -14,1212 - 4,20585 - 0,99217 - 6,294 + 9,030732 = -16,58

= -14,1212×(-10)+(- 4,20585)×(-7)+(- 0,99217)×(-4,5)+(- 6,294)×(-1,5) +

+ 9,030732×1,25  =195,84713

= -14,1212×(-10)²+(- 4,20585)×(-7)²+(- 0,99217)×(-4,5)²+(- 6,294)×(-1,5)²+

 + 9,030732×1,25² = -1638,3

С учётом полученных данных система (6) принимает вид:

      (7)

Из системы уравнений (7) находим:

d ₀ = 3,589, d ₁ = 1,697, d ₂ = 0,0138.

Аппроксимирующий полином второго порядка при равенстве весовых коэффициентов имеет вид:

у = 0,014х² + 1,698x + 3,59.

 

Составим таблицу, в которую запишем как расчётные у, так и значения f(x).

Таблица 4 – Значения f(x), y _расч при равных коэффициентах.

x	f(x)	y расч
-10	-14,1212	-11,99
- 7	-4,20585	-7,61
- 4,5	-0,99217	-3,7675
- 1,5	-6,294	1,0745
1,25	9,030732	5,734375

 

Квадратичный критерий близости:

= (-14,1212+11,99)²+(-4,20585+7,61)²+(-0,99217+3,7675)²+

+(-6,294-1,0745)²+(9,030732-5,734375) = 88,99721

Среднеквадратичная погрешность аппроксимации:

 = 4.218939

 

2.2.3 Определение аппроксимирующей функции при помощи метода наименьших квадратов при неравных весовых коэффициентах

 

b₁= b₂= b₄ =b₅=1; b₃=3

                            (8)

= 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 7

= -10 – 7 + 3×(-4,5) - 1,5 + 1,25 = -30,75

= (-10)² + (-7)² + 3×(-4,5)² - (1,5)² + 1,25² = 213,5625

= (-10)³ + (-7)³ + 3×(-4,5)³ - (1,5)³ + 1,25³= -1617,797

= (-10)⁴ + (-7)⁴ + 3×(-4,5)⁴ - (1,5)⁴ + 1,25⁴ = 13638,69

= -14,1212 - 4,20585 +3×(- 0,99217) - 6,294 + 9,030732 = -18,567

= -14,1212×(-10)+(- 4,20585)×(-7)+3×(- 0,99217)×(-4,5)+(- 6,294)×(-1,5)+

+ 9,030732×1,25 = 204,7768

=-14,1212×(-10)²+(-4,20585)×(-7)²+3×(-0,99217)×(-4,5)²+(-6,294)×(1,5)² + +9,030732×1,25² = -16,78,5

С учётом полученных данных система (8) принимает вид:

      (9)

Из системы уравнений (9) находим:

d ₀ = 3,97, d ₁ = 1,2549, d ₂ = -0,036.

Аппроксимирующий полином второго порядка при равенстве весовых коэффициентов имеет вид:

у = 0,036х² + 1,2549x + 3,97.

Составим таблицу, в которую запишем как расчётные у, так и значения f(x).

Таблица 5 – Значения f(x), y _расч при неравных коэффициентах.

x	f(x)	y расч
-10	-14,1212	-12,179
- 7	-4,20585	-6,593
- 4,5	-0,99217	-2,40425
- 1,5	-6,294	2,01175
1,25	9,030732	5,4746875

 

Квадратичный критерий близости:

= (-14,1212+12,179)²+(-4,20585+6,593)²+(-0,99217+2,40425)²+

+(-6,294-2,01175)²+(9,030732-5,4746875) = 93,09975

Среднеквадратичная погрешность аппроксимации:

 = 4.315084

 

2.2.4 Построение графиков при помощи среды Excel 2013

          

Рис.2 - Графики аппроксимирующих полиномов и исходной функции.

f(x) – исходная функция; Yrk(x) – расчетная аппроксимирующая функция с равными весовыми коэффициентами; Ynrk(x) – расчетная аппроксимирующая функция с неравными весовымикоэффициентами.

2.2.5 Расчетные значения аппроксимирующей функции третьей точке равной -4,5

    

Расчетные значениядля равных коэффициентов:

y _расч(-4.5) = 0.14×(-4.5)²+1.698×(-4.5)+3.59 = -3.7675

Расчетные значениядля неравных коэффициентов:

y _расч(-4.5) = 0.036×(-4.5)²+1.2549×(-4.5)+3.97 = -2.40425

Расчетные значениядля исходной функции:

y (-4.5) = -4.5 + 10sin(-4.5+1) = -0.99217

 

2.2.6 Вывод

Сравнивая расчетные значения аппроксимирующих функций в  третьей точке x = -4,5 и построенных графиков функций (рисунок 2), можно сделать вывод, что аппроксимирующий полином с весовым коэффициентом 3 при точке х = -4,5 более точно описывает исходную функцию в окрестности этой точки. Однако повышение точности в одной точке вызывает увеличение среднеквадратической погрешности, а также величину квадратичного критерия близости, что связано с ухудшением аппроксимации в остальных точках.

 

 

ЗАДАНИЕ 3

 

3.1 Условие

Дано уравнение f(х) = 0. Отделить корни в интервале [а, b] и уточнить один из них (любой на выбор) заданным методом. Разработать блок-схему алгоритма используемого метода.  Результаты представить  в   виде таблицы

(i - х_i - f(х_i)), и графиков в координатах х_i - f(х_i), где i – номер  шага (итерации).

Отделение корней произвести аналитическим или графическим методом, если аналитический метод окажется затруднительным. Уточнение корней произвести одним методом. Метод уточнения корней выбрать по числу N₆+1 из общего списка методов. Погрешность решения принять равной:  = 0.01.

Решение

 

Зачётная книжка № Д-12091

N₁₀ = 91/10 остаток 1; N₆ = 91/6 = 15(остаток 1); N₆ + 1 = 1+1 = 2

 

3.2.1 Исходные данные

 

f(x) = x + 10sin(x+1); интервал [-10;5]

Уточнение корней производим методом деления отрезка пополам.

 

3.2.2 Определение корней функции на интервале [-10;5] графическим методом

             

Рис.3 - Определение корней функции графическим методом.

 

У функции f(x) = x + 10sin(x+1) на отрезке [-10;5] имеется пять корней:

х₁ » -6,56678; х₂ » -62208; х₃ » -0,908977; х₄» 2,3821; х₅ » 4,78432

  

3.2.3 Уточнение корней методом деления отрезка пополам

Выберем корень х ₄ расположенный на интервале [2,3], который уточнимметодом деления отрезка пополам с погрешностью ε = 0,01.

Метод методом деления отрезка пополам заключается в следующем:

Вычисляем f (a), определяем половину отрезка х = (a+b)/2 и вычисляем f(х).

Проверяем следующие условия:

a) Если f(х)× f(a) < 0, то корень лежит в интервале [ a,х ].

b) Если f(х)× f(a) > 0, то корень лежит в интервале [ х,b].

c) Если b-a < ε, то х является корнем

Шаг1.

Находим середину отрезка [2; 3]:

f (а) = 3,4112

х = (2 + 3)/2 = 2,5

f(x) = -1,00783

Поскольку f (а) × f(x) < 0, то х= b = 2,5

Шаг 2.

Находим середину отрезка [2; 2,5]:

f (а) = 3,4112

х = (2 + 2,5)/2 = 2,25

f(x) = 1,168049

Поскольку f (а) × f(x) > 0, то х= а = 2,25

Шаг 3.

Находим середину отрезка [2,25; 2,5]:

f (а) = 1,168049

x = (2,25 + 2,5)/2 = 2,375

f(x) = 0,062062

Поскольку f (а)× f(x) > 0, то х = а = 2,375

Шаг 4.

Находим середину отрезка [2,375; 2,5]:

f (а) =0,062062

x = (2,375 + 2,25)/2 = 2,4375

f(x) = -0,47858

Поскольку f (а)× f(x) < 0, то х = b = 2,4375

Шаг 5.

Находим середину отрезка [2,375;2,4375]:

f (а) =0,062062

x = (2,375 + 2,4375)/2 = 2.40625

f(x) = -0.20954

Поскольку f (a)× f(x) < 0, то х = b = 2,40625  

Шаг 6.

Находим середину отрезка [2,375;2,40625]:

f (а) =0,062062

x = (2,375 + 2,40625)/2 = 2.390625

f(x) = -0.07404; f (a)× f(x) < 0, то х = b = 2,390625

Шаг 7.

Находим середину отрезка [2,375;2,390625]:

f (а) =0,062062

x = (2,375 + 2,390625)/2 = 2.382813

f(x) = -0.00606; f (a)× f(x) < 0, то х = b = 2,382813

Шаг 8.

Находим середину отрезка [2,375;2,382813]:

f (а) =0,062062

x = (2,375 + 2,382813)/2 = 2.378907

f(x) = 0.02798; f (a)× f(x) > 0, то х = a = 2,378907

Шаг 9.

Находим середину отрезка [2,378907;2,382813]:

f (а) =0,02798

x = (2,378907 + 2,382813)/2 = 2.38086

f(x) = 0.010951; f (a)× f(x) > 0, то х = a = 2,38086

Шаг 10.

Находим середину отрезка [2,38086;2,382813]:

f (а) =0,02798

x = (2,378907 + 2,382813)/2 = 2,381837; f(x) = f (a)× f(x) > 0, то х = a = 2,381837

Так как b – a = 2,382813 - 2,38086 = 0,002441734 < 0.01, то х = 2,381837является корнем с погрешностью ε = 0,01.

 

3.2.4 Полученные результаты представим в виде таблицы (i - х_i - f(х_i)) и графиков в координатах х_i - f(х_i), где i – номер шага (итерации)

Таблица 6 – Уточнение корней методом деления отрезка пополам.

i	xi	f(xi)
1	2,5	-1,00783
2	2,25	1,168049
3	2,375	0,062062
4	2,4375	-0,47858
5	2,40625	-0,20954
6	2,390625	-0,07404
7	2,382813	-0,00606
8	2,378907	0,02798
9	2,38086	0,010951

 

Рис.4 - График уточнение корней методом деления отрезка пополам.

3.2.5 Построение блок-схемы алгоритма уточнение корней методом деления отрезка пополам

3.2.5 Вывод

х _{граф.знач.}» 2,3821; f (2,3821) = 0,000145994

x_i = 2,381837  ; f (x_i) = 0,001953. Количество шагов, i = 10

Найденные значения  x_i методом  деления  отрезка  пополам с погрешность

ε = 0,01 соответсвуют значению корня функции f(x) = x + 10sin(x+1) на отрезке [2; 3].

 

 

                                              

 

ЗАДАНИЕ 4

 

4.1 Условие

 

По заданной функции f(х) в заданном интервале рассчитать интеграл     заданным методом (интервал [а, b] разбить не менее чем на шесть подынтервалов). Метод численного интегрирования выбрать по числу N₄+1 из следующего общего списка методов:

1. Простейшие методы

2. Метод Симпсона

3. Метод Ньютона-Котеса

4. Методы Чебышева и Гаусса

 

4.2 Решение

 

Зачётная книжка № Д-12091

N₁₀ = 91/10 остаток 1; N₄ = 91/4 = 22(остаток 3); N₄+1 = 3+1 = 4

 

4.2.1 Исходные данные

 

f(x) = x + 10sin(x+1); интервал [-10;5]

Методы Чебышева и Гаусса.

 

4.2.2  Рассчитаем интеграл методом Чебышева

Разделим интервал [-10; 5] на 10 подынтервалов.Шаг интегрирования будет равен:

h =

где: k примем равное 4

h =  = 1.5

Так как шаг у нас одинаковый, то весовые коэффициенты  для всех подынтервалов будут одинаковыми. Высчитаем  для первого подынтервала [-10;-8.5]:

w₁=  =  = 0.375

Следовательно для всех подынтервалов .

Интеграл для i – подынтервала:

I=w_i×

х_i высчитывается по формуле: .

где Z_i при k = 4 будут равны:

Z₁= -0,794654; Z₂= -0,187592; Z₃= 0,187592; Z₄ = 0,794654.

Найдем значения интеграла на интервале [-10;-8.5]:

х₁ = (-10+(-8,5))/2+(-8,5-(-10)/2×(-0,794654) = -9,84599

х₂ = -9,25 + 0,75×(-0,187592) = -9,39069

х₃ = -9,25 + 0,75×0,187592 = -9,10931

х₄ = -9,25 + 0,75×0,794654 = -8,65401

I₁ = Z_i ×(f(x₁) + f(x₂)+ f(x₃)+ f(x₄)) = 0.375×(-15.3161 -17.9846 -18.7851 - 26.4527) =

= -26.4527

Найдем значения интеграла на интервале [-8.5;-7]:

х₁ = -7,75+0,75×(-0,794654) = -8,34599

х₂ = -7,75 + 0,75×(-0,187592) = -7,89069

х₃ = -7,75 + 0,75×0,187592 = -7,60931

х₄ = -7,75 + 0,75×0,794654 = -7,15401

I₂ = 0,375×(-17,0,832-13,5989-10,813-5,86587) = -17,7604

Найдем значения интеграла на интервале [-7;-5,5]:

х₁ = -6,25+0,75×(-0,794654) = -6,84599

х₂ = -6,25 + 0,75×(-0,187592) = -6,3906

х₃ = -6,25 + 0,75×0,187592 = -6,10931

х₄ = -6,25 + 0,75×0,794654 = -5,65401

I₃ = 0,375×(-2,61199 + 1,39568 + 3,113259 + 4,32895) = 2,334712

Найдем значения интеграла на интервале [-5,5;-4]:

х₁ = -4,75+0,75×(-0,794654) = -5,34599

х₂ = -4,75 + 0,75×(-0,187592) = -4,89069

х₃ = -4,75 + 0,75×0,187592 = -4,60931

х₄ = -4,75 + 0,75×0,794654 = -4,15401

I₄ = 0,375×(3,990246 +1,919116 – 0,10083 - 4,02982) = 0,667018

Найдем значения интеграла на интервале [-4;-2,5]:

х₁ = -3,25+0,75×(-0,794654) = -3,84599

х₂ = -3,25 + 0,75×(-0,187592) = -3,39069

х₃ = -3,25 + 0,75×0,187592 = -3,10931

х₄ = -3,25 + 0,75×0,794654 = -2,65401

I₅ = 0,375×(-6,75915 -10,2137 – 11,694 - -12,6194) = -15,4823

Найдем значения интеграла на интервале [-2,5;-1]:

х₁ = -1,75+0,75×(-0,794654) = -2,34599

х₂ = -1,75 + 0,75×(-0,187592) = -1,89069

х₃ = -1,75 + 0,75×0,187592 = -1,60931

х₄ = -1,75 + 0,75×0,794654 = -1,15401

I₆ = 0,375×(-12,0944 – 9,66578 – 7,3323 – 2,68806) = -11,9177

 

Найдем значения интеграла на интервале [-1; 0,5]:

х₁ = -0,25+0,75×(-0,794654) = -0,84599

х₂ = -0,25 + 0,75×(-0,187592) = -0,39069

х₃ = -0,25 + 0,75×0,187592 = -0,10931

х₄ = -0,25 + 0,75×0,794654 = 0,345988

I₇ = 0,375×(0,688023 + 5,332291 + 7,665767 + 10,09435) = 8,917664

Найдем значения интеграла на интервале [0,5; 2,5]:

х₁ = 1,25+0,75×(-0,794654) = 0,65401

х₂ = 1,25 + 0,75×(-0,187592) = 1,109306

х₃ = 1,25 + 0,75×0,187592 = 1,390693

х₄ = 1,25 + 0,75×0,794654 = 1,845988

I₈ = 0,375×(10,61941 + 9,694046 + 8,213664 + 12,48236) = 12,48236

Найдем значения интеграла на интервале [2,5; 3,5]:

х₁ = 2,75+0,75×(-0,794654) = 2,15401

х₂ = 2,75 + 0,75×(-0,187592) = 2,609306

х₃ = 2,75 + 0,75×0,187592 = 2,890693

х₄ = 2,75 + 0,75×0,794654 = 3,345988

I₉ = 0,375×(2,029844 – 1,89916 – 3,91911 – 5,99024) = -3,667

Найдем значения интеграла на интервале [0,5; 2,5]:

х₁ = 4,25+0,75×(-0,794654) = 3,65401

х₂ = 4,25 + 0,75×(-0,187592) = 4,109306

х₃ = 4,25 + 0,75×0,187592 = 4,390693

х₄ = 4,25 + 0,75×0,794654 = 4,845988

I₁₀ = 0,375×(-6,32895 – 5,11327 – 3,39569 + 0,61962) = -5,33473

Общий интеграл для функции f(x) = x + 10sin(x+1) на отрезке [-10; 5] будет равен сумме всех интегралов для подынтервалов:

I_общ= = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ + I₅ + I₆ + I₇ + I₈ + I₉ + I₁₀ = -26,4527 –17,7604 +2,334712 + +0,667018- 15,4823 – 11,9177 + 8,917664 + 12,48236 – 3,667 – 5,33473 = -56,2131

 

4.2.2 Рассчитаем интеграл методом Гаусса

 

В методе Гаусса интеграл для i – подынтервала будет вычисляться по

формуле:

I= ×

х_i вычисляется также как в методе Чебышева:

.

Но w_i будет зависеть от значения k и Z_i будет равно вметоде Чебышева

   

 Значения w_i и Z_i при k =4:

-Z₁ = Z₄ = 0,861136; -Z₂ = Z₃=0,33998;

w₁ = w₄ = 0,3447855; w₂ = w₃ = 0,652145.

Найдем значения интеграла на интервале [-10;-8.5]:

х₁ = -9,25+0,75×(-0,861136) = -9,89585

х₂ = -9,25 + 0,75×(-0,339981) = -9,50499

х₃ = -9,25 + 0,75×0,339981 = -8,99501

х₄ = -9,25 + 0,75×0,861136 = -8,60415

I₁ = 0,75×(0,347855×(-14,9419) + 0,625145×(–17,4597) + 0,625145×(–18,8957) +

+ 0,347855×(-18,2937)) = -26,4527

Найдем значения интеграла на интервале [-8.5;-7]:

х₁ = -7,75+0,75×(-0,861136) = -8,39585

х₂ = -7,75 + 0,75×(-0,339981) = -8,00499

х₃ = -7,75 + 0,75×0,339981 = -7,49501

х₄ = -7,75 + 0,75×0,861136 = -7,10415

I₂ = 0,75×(0,347855×(-17,3647) + 0,625145×(–14,6124) + 0,625145×(–9,5975) +

+ 0,347855×(-5,32332)) = -17,7603

Найдем значения интеграла на интервале [-7;-5,5]:

х₁ = -6,25+0,75×(-0,861136) = -6,89585

х₂ = -6,25 + 0,75×(-0,339981) = -6,50499

х₃ = -6,25 + 0,75×0,339981 = -5,99501

х₄ = -6,25 + 0,75×0,861136 = -5,60415

I₃ = 0,75×(0,347855×(-3,11865) + 0,625145×0,514997 + 0,625145×3,608252 +

+ 0,347855×4,337329) = 2,334661

Найдем значения интеграла на интервале [-5.5;-4]:

х₁ = -4,75+0,75×(-0,861136) = -5,39585

х₂ = -4,75 + 0,75×(-0,339981) = -5,00499

х₃ = -4,75 + 0,75×0,339981 = -4,49501

х₄ = -4,75 + 0,75×0,861136 = -4,10415

I₄ = 0,75×(0,347855×4,107339 + 0,625145×2,595534 + 0,625145×(-1,03391) +

+ 0,347855×(-4,47851)) = 0,666967

Найдем значения интеграла на интервале [-4;-2,5]:

х₁ = -3,25+0,75×(-0,861136) = -3,89585

х₂ = -3,25 + 0,75×(-0,339981) = -3,50499

х₃ = -3,25 + 0,75×0,339981 = -2,99501

х₄ = -3,25 + 0,75×0,861136 = -2,60415

I₅ = 0,75×(0,347855×(-6,3286) + 0,625145×(-9,44969) + 0,625145×(-12,1086) +

+ 0,347855×(-12,5986)) = -15,4823

    

 

 

Найдем значения интеграла на интервале [-2,5;-1]:

х₁ = -1,75+0,75×(-0,861136) = -2,39585

х₂ = -1,75 + 0,75×(-0,339981) = -2,00499

х₃ = -1,75 + 0,75×0,339981 = -1,49501

х₄ = -1,75 + 0,75×0,861136 = -1,10415

I₆ = 0,75×(0,347855×(-12,2432) + 0,625145×(-10,4465) + 0,625145×(-6,24546) +

+ 0,347855×(-2,14375)) = -11,9176

Найдем значения интеграла на интервале [-1; 0,5]:

х₁ = -0,25+0,75×(-0,861136) = -0,89589

х₂ = -0,25 + 0,75×(-0,339981) = -0,50499

х₃ = -0,25 + 0,75×0,339981 = 0,004986

х₄ = -0,25 + 0,75×0,861136 = 0,39852

I₇ = 0,75×(0,347855×0,143746 + 0,625145×4,245456 + 0,625145×8,446529 +

+ 0,347855×10,24321) = 8,917628

Найдем значения интеграла на интервале [0,5; 2]:

х₁ = 1,25+0,75×(-0,861136) = 0,604148

х₂ = 1,25 + 0,75×(-0,339981) = 0,995014

х₃ = 1,25 + 0,75×0,339981 = 1,504986

х₄ = 1,25 + 0,75×0,861136 = 1,89852

I₈ = 0,75×(0,347855×10,59859 + 0,625145×10,10862 + 0,625145×7,44969 +

+ 0,347855×4,3286) = 12,4823

Найдем значения интеграла на интервале [2; 3,5]:

х₁ = 2,75+0,75×(-0,861136) = 2,104148

х₂ = 2,75 + 0,75×(-0,339981) = 2,495014

х₃ = 2,75 + 0,75×0,339981 = 3,004986

х₄ = 2,75 + 0,75×0,861136 = 3,39852

I₉ = 0,75×(0,347855×2,478507 + 0,625145×(-0,96609) + 0,625145×(-4,59553) +

+ 0,347855×(-6,10734)) = -3,66697

Найдем значения интеграла на интервале [3,5; 5]:

х₁ = 4,25+0,75×(-0,861136) = 3,604148

х₂ = 4,25 + 0,75×(-0,339981) = 3,995014

х₃ = 4,25 + 0,75×0,339981 = 4,504986

х₄ = 4,25 + 0,75×0,861136 = 4,89852

I₁₀ = 0,75×(0,347855×(-6,33733) + 0,625145×(-5,60825) + 0,625145×(-2,515) +

+ 0,347855×1,118646) = -5,33466

Общий интеграл для функции будет равен сумме всех интегралов для подынтервалов:

I_общ= = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ + I₅ + I₆ + I₇ + I₈ + I₉ + I₁₀ = -26,4527 –17,7603 +2,334661 + + 0,666967 - 15,4823 – 11,9176 + 8,917628 + 12,4823 – 3,66697 – 5,33466 =

= -56,2130

Вывод

 

Общий интеграл для функции f(x) = x + 10sin(x+1) на отрезке [-10; 5] равен:

По методу Чебышева:

-56,2131

По методу Гаусса:

-56,2130

Мы видим, что интегралы для функции высчитанные по методам Чебышева и Гаусса отличаются на одну десятитысячную. Это объясняется тем, что в методе Гаусса весовые коэффициенты различные, поэтому он более точный.

 

ЗАДАНИЕ 5

5.1 Условие

 

Задана система нелинейных уравнений:

f₁(x₁,x₂) = 0,

f₂(x₁,x₂) = 0.

Уравнения системы выбираются изтаблицы № 2 в зави­симости от числа N₁₀. Требуется решить эту систему заданным в соответствии с номером варианта методом. Метод выбрать по числу N₂+1 из следующего списка:

1. Метод Ньютона-Рафсона

2. Метод итераций.

 

5.2 Решение

 

Зачётная книжка № Д-12091

N₁₀ = 91/10 остаток 1; N₂ = 91/2 = 45(остаток 1); N₄+1 = 1+1 = 2

 

5.2.1 Исходные данные

 

N10	f1(x1,x2)	f2(x1,x2)
1	x 1-cos x 2 = 3	sin x 1 + 2 x 2 = 2

 

Метод итераций.

 

5.2.2 Решение системы уравнений методом итераций

 

Систему уравнений:

Приведём к следующему виду:

В качестве начальных условий принимаем х₁ = 1 и х₂ = 0,25.      

Проверим выполнения условий сходимости:

 = 0,  = -sin x ₂,  = -0,5cos x ₂,  = 0,

Условия сходимости будут выполнятся всегда:

 +  = -0,5cos x ₂ < 0

 +  = -sin x ₂ < 0

Далее будем подставлять значения х в функции, постепенно приближаясь к истинным значениям. Зададимся погрешностью ε = 0,01.  

i	x 1	x 2
	cos x2 + 3	(2 – sin x 1)/2
1	cos(0,25)+ 3 = 3,968912	(2-sin(3,968912))/2=1,36806
2	cos(1,36806)+ 3 = 3,20135	(2-sin(3,20135))/2=1,029861
3	cos(1,029861)+ 3 =3,514938	(2-sin(3,514938))/2=1,182366
4	cos(1,182366)+ 3 =3,378736	(2-sin(3,378736))/2=1,117463
5	cos(1,117463)+ 3 =3,437964	(2-sin(3,437964))/2=1,146026
6	сos(1,146026)+ 3 =3,412112	(2-sin(3,412112))/2=1,133616

х ₁₆ - х ₁₅ = 3,412112 - 3,437964 = -0,02585 < 0,01

х ₂₆ – х ₂₅ = 1,133616 - 1,146026 = -0,01241 < 0,01

 

5.2.3 Вывод

Значения х ₁₆ и х ₂₆ удовлетворяют условиям: | х _1,i - х _1,i+1| < e, | х _2,i – х _2,i+1| < e, следовательно корнями уравнения системы:

будут являться:

х ₁ = 3,412112 и х ₂ = 1,133616; i = 6

Сделаем проверку:

3,412112 – cos(1,133616) = 2.988725»3

sin(1,133616) +2×3,412112 = 2

Вычисления произведены верно.

 

 

ЗАДАНИЕ 7

 

7.1 Условие

 

Решить дифференциальное уравнение у' = f (х) + ху при за­данных начальных условиях х_о = а, у (х_о)= у (а) = 0 в заданных пределах [a, b] с шагом не менее (b - а)/ 10двумя методами:

1. Методами Эйлера

2. Методом Рунге-Кутта

Итогом решения задачи должно быть построение графика полученной функции у = f (х) (минимум по 5-и точкам).

7.2 Решение

 

Зачётная книжка № Д-12091; N₁₀ = 91/10 остаток 1.

7.2.1 Исходные данные

 

f(x) = x + 10sin(x +1); интервал [-10;5]

х_о = -10, у (х_о)= у (а) = 0; h = (5 – (-10))/ 10 = 1,5

 

7.2.2 Решение дифференциального уравнения методами Эйлера

 

у ' = x + 10sin(x +1) + ху;

        

7.2.2.1 Метод Эйлера

 

 В общем случае метод Эйлера заключается в нахождении y_{i +1} по формуле:

 Для данного задания можно переписать как:

y_{i+ 1} = y_i + 1.5 ×(х +10sin(x + 1) + x_i y_i)

Первый и последующие шаги:

y ₁ = 0 + 1.5 ×(-10 +10sin(- 10 + 1) + (-10) × 0) = -21,182

y ₂ = -21,182 + 1.5 ×(-8,5 +10sin(- 8,5 + 1) + (-8,5) × (-21,182) = 222,066

y ₃ = 222,066 + 1.5 ×(-7 +10sin(- 7 + 1) + (-7) × 222,066 = -2115,935

y ₄ = -2115,935 + 1.5 ×(-5,5 +10sin(- 5,5 + 1) + (-5,5) × (-2115,935) = 15346.939

y ₅ =  15346,939 + 1.5 ×(-4 +10sin(- 4 + 1) + (-4) ×15346,939 = -76742,813

y ₆ = -76742,813+ 1.5 ×(-2,5 +10sin(- 2,5 + 1) + (-2,5) × (-76742,813) = 211024,023

y ₇ = 211024,023+1.5 ×(-1 +10sin(- 1 + 1) + (-1) × 211024,023 = -105513,512

y ₈ = -105513,512+1.5 ×(0,5 +10sin(0,5 + 1) + 0,5 ×(-105513,512) = -184632,933

y ₉ = -184632,933 +1.5 ×(2 +10sin(2 + 1) + 2 ×(-184632,933) = -738526,615

y ₁₀ = -738526,615+1.5 ×(3,5 +10sin(3,5 + 1) + 3,5×(-738526,615) = -4615800,756

7.2.2.2 Модифицированный метод Эйлера

     В общем случае модифицированный метод Эйлера заключается в нахождении y_{i +1} по формуле:

y_{i +1} = y_i + 0.5 h × [ f (x _i, y _i)+ f (x _i+1, y _i+1)]

где: y_{i +1} – значение найденное по методу Эйлера.

   x_{i +1} = x + h   

 Первое и последующие шаги:

y ₁ = y ₀ + 0.5 h × [ f (x ₀, y ₀)+ f (x ₁, y ₁)] = 0 + 0,75×[(-10 +10sin(- 10 + 1) + (-10)×0) +

+(-8,5+10sin(-8,5+1)+(-8,5)×(-21,182))] = 111,033

y ₂= y ₁+0.5 h ×[ f (x ₁, y ₁)+ f (x ₂, y ₂)]=111,033+0,75×[(-8,5+10sin(- 8,5 + 1)+(-8,5)×111,033)+

+ (-7+10sin(-7+1)+(-7)×222,066)] = -1179,212

y ₃ = -1179,212 + 0,75×[(-7+10sin(- 7 + 1) + (-7)×(-1179,212) + (-5,5+10sin(-5,5+1) +

+ (-5,5)×(-2115,935))] = 16289,935

y ₄ = 16289,935+0,75×[(-5,5 +10sin(- 5,5 + 1)+(-5,5)×16289,935) + (-4+10sin(-4+1) + + (-4)× 15346,939] = -96947,716

y ₅=-96947,716+0,75×[(-4 +10sin(- 4 + 1) + (-4)×(-96947,716))+(-2,5+10sin(-2,5+1) +

+ (-2,5)×(-76742,813))] = 337774,793

y ₆ = 337774,793+0,75×[(-2,5+10sin(- 2,5 + 1)+(-2,5)×337774,793)+(-1+10sin(-1+1)+

+ (-1)× 211024,023)] = -453831,067

y ₇= -453831,067+0,75×[(-1+10sin(- 1 + 1)+(-1)×(-453831,067)) +(0,5+10sin(0,5+1)+ +0,5×(-105513,512))] = -153018,227

y ₈ = -153018,227+0,75×[(0,5+10sin(0,5 + 1) +0,5×(-153018,227)) + (2+10sin(2+1) + + 0,5×(-184632,933))] = -487339,047

y ₉ = -487339,047 +0,75×[(2+10sin(2 + 1) + 2×(- 487339,047)) + (3,5+10sin(3,5+1) + + 0,5×(-738526,615))] = -3156982,131

y ₁₀=-3156982,131+0,75×[(3,5+10sin(3,5 + 1)+3,5×(- 3156982,131))+(5+10sin(5+1)+ + 5×(-4615800,756))] = -28753316,109

Рис. 5 – Графики функций построенные методами Эйлера.

7.2.3 Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта

     Вычислительный алгоритм записывается следующим образом:

y_{i +1} = y_i +

где: k₁ = h× f (x_i, y_i);

  k₂ = h× f (x_i + , y_i + );

  k₃ = h× f (x_i + , y_i + );

  k₄ = h× f (x_i + h, y_i + k₃).

На первом шаге получим:

k₁ = 1,5 ×(-10 + 10sin(-10 + 1) + (-10)×0) = -21,182

k₂ = 1,5 ×(-10+1,5/2 + 10sin(-10+1,5/2 + 1) + (-10+1,5/2)×(0 - 21,182/2))= 119,235

k₃ = 1,5 ×(-10+1,5/2 +10sin(-10+1,5/2+1) + (-10+1,5/2)×(0 + 119,235/2))=-854,904

k₄ = 1,5 ×(-10 + 1,5 + 10sin(-10 + 1,5 + 1) + (-10 + 1,5)×(0 – 854,904))= 10873,200

y ₁ =0+(-21,182+2×119,235+2×(-854,904)+10873,2)/6 = 1563,447    

На втором шаге:

k₁ = 1,5 ×(-8,5 + 10sin(-8,5+ 1) + (-8,5)×1563,447) = -19960,765

k₂ = 1,5×(-8,5+0,75+10sin(-8,5+0,75+1)+(-8,5+0,75)×(1563,447–19960,765/2)) =

= 97828,505

k₃ = 1,5 ×(-8,5+0,75+10sin(-8,5+0,75+1) + (-8,5+0,75)×(1563,447+97828,505/2)) =

= -586821,627

k₄ = 1,5 ×(-7 + 10sin(-7 + 1) + (-7)×(1563,447 – 586821,627)) = 6145204,586

y ₂ = 1563,447+(-19960,765+2×97828,505 +2× (-586821,627) + 6145204,586)/6 =

=859439,709

Третий шаг:

k₁ = 1,5 ×(-7 + 10sin(-7+ 1) + (-7)×859439,709) = -9024123,257

k₂ = 1,5×(-7+0,75 +10sin(-7+0,75+1) + (-7+0,75)×(859439,709–9024123,257/2)) =

= 34243334,0

k₃ = 1,5 ×(-7+0,75+10sin(-7+0,75+1) + (-7+0,75)×(859439,709+34243334/2)) =

= -168572871,889

k₄ = 1,5×(-5,5+10sin(-5,5+1)+(-5,5)×(859439,71–168572871,89))=1383635821,897

y ₃ = 859439,71+(-9024123,26+2×34243334-2×168572871,89+1383635821,89)/6= = 185184876,853

Четвёртый шаг:

k₁ = 1,5 ×(-5,5 + 10sin(-5,5+ 1) + (-5,5)× 185184876,853) = -1527775227,623

k₂= 1,5×(-4,75+10sin(-4,75+1)-4,75×(185184876,85-1527775227,6/2))=4123257002  

k₃= 1,5×(-4,75+10sin(-4,75+1)-4,75×(185184876,8+4123257002/2))=-16008545316

k₄ = 1,5×(-4+10sin(-4+1)-4×(185184876,853-16008545316))=94940162631,2

y ₄ = 185184876,853 + (-1527775227,623 + 2×4123257002 - 2×160085453162 +

 + 1383635821,897)/6 = 11792153339,299

 

Пятый шаг:

k₁ = 1,5 ×(-4 + 10sin(-4+ 1) - 4×11792153339,299) = -70752920043,623

k₂ = 1,5×(-3,25 + 10sin(-3,25+1) - 3,25×(11792153339,299 - 70752920043/2)) =

= 114973495061,406

k₃ = 1,5×(-3,25+10sin(-3,25+1) - 3,25×(11792153339,299 +114973495061,4/2)) =

= -337734641757,807

k₄ = 1,5×(-2,5 + 10sin(-2,5 + 1) - 2,5×(11792153339,299 - 337734641757,807)) =

= 1222284331550,69

Y ₅ =11792153339,299+(-70752920043,6+2×114973495061,4-2×337734641757,8+

+ 1222284331550,69)/6 = 129460339691,629   

 Шестой шаг:

k₁ = 1,5 ×(-2,5 + 10sin(-2,5+ 1) – 2,5×129460339691,629) = -485476273862,321

k₂ = 1,5×(-1,75 + 10sin(-1,75+1) - 1,75×(129460339691,629-485476273862,32 /2))=

= 297354217740,92

k₃ = 1,5×(-1,75+10sin(-1,75+1) - 1,75×(129460339691,629+297354217740,92/2)) =

= -730110802488,333

k₄= 1,5×(-1+10sin(-1+1)-1×(129460339691,62-730110802488,3))=900975694193,5

y ₆ =129460339691,6+(-485476273862,32+2×297354217740,9-2×730110802488,3+

 +900975694193,5)/6 = 54458048164,364

Седьмой шаг:

k₁ = 1,5 ×(-1 + 10sin(-1+ 1) – 1×54458048164,364) = -8168707722248,046

k₂ = 1,5×(-0,25 + 10sin(-0,25+1) - 0,25×(54458048164,364-8168707722248,04/2)) =

= -5105442005,278

k₃ = 1,5×(-0,25+10sin(-0,25+1) - 0,25×(54458048164,364-5105442005,278/2)) =

= -19464497675,797

k₄ = 1,5×(0,5 + 10sin(0,5+1) + 0,5×(54458048164,364 - 19464497675,797)) =

= 26245162882,137

y ₇ =54458048164,364+(-8168707722248,046-2×5105442005,278-2×19464497675,7

+26245162882,137)/6 = 37027750043,021

Восьмой шаг:

k₁ = 1,5 ×(0,5 + 10sin(0,5 + 1) + 0,5×37027750043,021)) = 27770812547,987

k₂ = 1,5×(1,25+10sin(1,25+1)+1,25×(37027750043,01+27770812547,98/2)) =

= 95462168107,939

k₃ = 1,5×(1,25+10sin(1,25+1) + 1,25×(37027750043,021+95462168107,939/2)) =

= 158922813945,403

k₄ = 1,5×(2 + 10sin(2 + 1) + 2×(37027750043,021 + 158922813945,403))=

= 587851691970,387

y ₈=37027750043,021+(27770812547,98+2×95462168107,9+2×158922813945,4+ +587851691970,387)/6 = 224426494813,862

 

Девятый шаг:

k₁ = 1,5 ×(2 + 10sin(2 + 1) + 2×224426494813,862) = 673279484446,703

k₂ = 1,5×(2,75+10sin(2,75+1)+2,75×(224426494813,862+673279484446,703/2)) =

= 231498227774,060

k₃ = 1,5×(2,75+10sin(2,75+1) + 2,75×(224426494813,862+231498227774,060/2)) =

= 5699205635886,730

k₄ = 1,5×(3,5 + 10sin(3,5 + 1) + 3,5×(224426494813,862+ 5699205635886,730))=

= 31099068686168,7

y ₉=224426494813,86+(673279484446,7+2×231498227774+2×5699205635886,7+

+31099068686168,7)/6 = 8191019144470,020

   Десятый шаг:

k₁= 1,5×(3,5+10sin(3,5+1)+3,5×8191019144470,02)=43002850508458,200

k₂ =1,5×(4,25+10sin(4,25+1)+4,25×(8191019144470,02+43002850508458,20/2))= =189289333041700

k₃ = 1,5×(4,25+10sin(4,25+1) + 4,25×(8191019144470,02+189289333041700/2)) =

=655577496116410

k₄ = 1,5×(5+10sin(5+1) + 5×(8191019144470,02+655577496116410/2)) =

=4978263864456600

y₁₀ =8191019144470,02+(43002850508458,2+2×189289333041700+

+2×655577496116410+4978263864456600)/6=1126691081358020

 

     Значения функции, полученные методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта занесём в таблицу и построим графики функции.

 

Таблица 7 – Значения функции.

шаг	xi	yi  по Эйлеру	yi по модиф. Эйлеру	yi по Рунге-Кутта
0	-10	0	0	0
1	-8,5	-21,182	111,033	1563,447
2	-7	222,086	-1779,212	859439,709
3	-5,5	-2115,935	16289,935	185184876,853
4	-4	15346,939	-96947,716	11792153339,299
5	-2,5	76742,813	337774,793	129460339691,629
6	-1	211024,023	-453831,067	54458048164,364
7	0,5	-105513,512	-153018,227	37027750043,021
8	2	-184632,933	-487339,047	224426494813,862
9	3,5	-738526,615	-3156982,131	8191019144470,02
10	5	-4615800,756	-28753316,109	1126691081358020

 

Рис.6. Графики функций по 5-ти точкам

7.2.4 Вывод

     Значения функции, полученные методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта сильно различаются. Это связано с тем, что метод Эйлера является методом решения дифференциальных уравнений первого порядка и в практических расчётах он даёт значительную погрешность. Для повышения точности используют модифицированный метод Эйлера второго порядка.

     Метод Рунге-Кутта является методом четвёртого порядка, следовательно, он более точен, чем методы Эйлера.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Васильков Ю. В., Василькова Н. Н.

Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 256 с.: ил. ISBN 5-279-02098-2.