Зависимость сопротивления металла от температуры

Чтобы качественно определить характер зависимости температуры от удельного сопротивления проводника, используем упрощенную модель. Согласно классической теории металлы можно рассматривать как кристаллический остов, состоящий из положительных ионов, погруженных в среду из свободных коллективизированных электронов, называемой "электронным газом" или "электронной жидкостью" (рисунок 1.).

Рис. 1. Классическая модель металла согласно Друде и Лорентцу

Электроны под действием поля перемещаются внутри кристалла, сталкиваясь с атомами расположенными в узлах кристаллической решетки.

Рис.2

Каждый атом решетки совершает беспорядочные колебания около положения равновесия (рис. 4), оставаясь в пределах сферы с радиусом, равным амплитуде колебаний а. Площадь поперечного сечения этой сферы, равную S = πa², можно принять за сечение рассеяния колеблющегося атома: электрон, проходя через проводник и попадая в один из таких дисков, будет испытывать рассеяние.

Рис. 3

 

При прочих одинаковых условиях вероятность попадания электрона в подобный диск будет, пропорциональна площади диска, а время пробега τ между столкновениями · электрона - обратно пропорциональна этой площади:

 

 

Согласно классической статистике средняя энергия колеблющегося атома равна E = kT.

 

Потенциальная энергия атома, отклоненного на расстояние а от узла кристаллической решетки, определяется выражением:

где k_y - коэффициент упругой связи, которая стремится вернуть атом в положение равновесия.

Из равенства энергии упругой связи атома и энергии колеблющегося атома:

 

k_ya²/2 = kT.

 

Видно, что квадрат амплитуды колебаний атомов (сечение рассеяния) пропорционален температуре

 

Поэтому время пробега τ между столкновениями, обусловленное процессом рассеяния на тепловых колебаниях решетки, должна быть обратно пропорционально абсолютной температуре тела:

С другой стороны, зависимость подвижности электрона от времени пробега между столкновениями с атомами кристаллической решетки можно оценить с помощью второго закона Ньютона в импульсной форме  F·t = Δm·v, где F = qE

 

m_e – масса электрона, V_D - скорость направленного движения электронов,   время установления равновесия в систем. Скорость дрейфа  тогда подвижность

следовательно проводимость обратно пропорциональна температуре  , а удельное сопротивление , возрастает прямо пропорционально температуре.

 

Для практически важной области температур эта зависимость в большинстве случаев линейна, т.е. определяется рассеянием на фононах.

ρ_t =ρ₀·(1+αТ),

где ρ₀, ρ _t — удельные сопротивления вещества проводника соответственно при 0°С и t °C, α — температурный коэффициент сопротивления: измеряемый в СИ в Кельвинах в минус первой степени (К^-1). Величина αхарактеризует относительное изменение электрического сопротивления при изменении температуры на один градус, т. е. является мерой чувствительности сопротивления к температуре, или, напротив, мерой его термической стабильности.

Температурный коэффициент сопротивления вещества — это величина, численно равная относительному изменению удельного сопротивления проводника при его нагревании на 1К: