Нахождение центров тяжести

Распределенная нагрузка

Q=[н/м], l=[м]. Q=òqdx=qòdx=ql

Q(x)=(q/l)x, Q=òq(x)dx=(q/l)òxdx=(q/l)(x2/2)½= (ql)/2.

dQ=q(x)dx, [(ql)/2]b=òq(x) xdx=(q/l) ò x2dx=(q/l)(x3/3)½= (ql)/3.

[(ql)/2]b= (ql)/3Þb=(2/3)l.

Вывод: в общем случае вел-на сосредоточенной силы равна площади распределенной на оси и приложена она в центре тяжести.(Все это касается распределенной нагрузки параллельн.между собой силам).

Сила трения скольжения. Законы Кулона для Fтр.ск .:

1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0£ Fтр£ Fмах;

2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: Fтр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.

Момент трения качения.

N=P.

Мтр.кач.=dN, d-коэф.трения качения

В динамических ур-ях сила трения скольженич и момент трения качения входят в правые части ур-я. Правило со знаком -.

Конус трения.

Угол a образуется между силой R и N, причем сила R-это равнодействующая силы N и максимальной силы трения.

tga= Fтр/N=f-коэф.трения

Конус, построенный на силе R с углом a наз-ся конусом трения.

Если сила RА оказывается внутри конуса, то тело нах-ся в равновесии.

Т.о. если какая-то активная сила нах-ся внутри конуса и лежит на его образующей, то тогда тело нахся в равновесии. Если сила RА нах-ся вне конуса трения, то тогда тело нге может находится в равновесии.

Взаимодействие трения качения и трения скольжения.

Тело нах-ся в равновесии:

dР= Мтр.кач.=rQ,

fP= Fтр=Q

Если Q<(d/r)P (1), (2) то тоже тело нах-ся в равновесии

1)Q<(d/r)P,d/r£f тело нах-ся в равновесии

2) Q> (d/r)P, Q>fP в этом случае происходит качение, но без скольжения

3) Q> (d/r)P, Q<fP в этом случае происходит качение со скольжением

4) Q< (d/r)P, Q>fP чистое скольжение

Поскольку в основном выполняется условие 1, то качение наступает быстрее, чем скольжение и поэтому подшипники намного эффективнее, чем скользящие приспособления.

Аналогично моменту трения качения можно ввести момент трения верчения, Коэф-т трения верчения меньше, чем коэя-т трения качения.

Произвольная простр.система сил Частный случай приведения произвольной простр.системы сил. Инвариантная система сил.

Представим себе, что мы привели систему к какому-либо центру 0, что произойдет с сист.сил, если изменить центр приведения на некий новый центр О1.

Lo-векто свободный

{R’’, R’}~0

R=R’=R’’

MO1=[O1O ´R]

LO1=LO+[O1O ´R]= LO-[O1O ´R’]

При перемене центра приведения главный вектор сохраняется, а гл.момент меняется на вел-ну момента силы отн-но нового центра приведения.

Инвариантом наз-сятакая вел-на, кот-я не меняется при изменении центра приведения.

Т.о. мы обнаружили 1-й инвариант-это главный вектор.

(LO1´R)=((LO+[O1O ´R])R)

(LO1´R)=(LO´R)+([O1O ´R] R)

(LO1´R)=(LO´R)

LO1´cosa1= LO´ cosa -эта запись второго инварианта в др.форме: Проекция главного момента на направление главного вектора величина неизменная.

L1xRx+ L1yRy+ L1zRz= LxRx+ LyRy+ LzRz

Частный случай приведения произвольной плоской системы сил.

1)Приведение системы сил к паре сил

В этом случае LO¹0, R=0. При изменении центра приведения главный момент не меняется.

2)Система сил приводится к равнодействующей

а)R*=R; LO=0

Относительно любой точки, лежащей на линии действия равнодействующей система сил всегда будет приводится к равнодействующей R, но отн-но какого-либо др.центра приведения сист.сил уже не будет приводиться к равнодействующей.

Б) LO¹0 R¹0, LO^ R.

Покажем, что в этом случае сист.сил приводится к равнодействующей.

R=R’=R*

{R, LO }~{ R=R’=R*}~{R*}

LO=Rd

{R, R’}~0

В этом случае сист.приводится к равнодействующей, кот.лежит на растоянии d от линии дей-я силы R, определяемое по ф-ле: d=Lo/R

3)Система сил приводится к Динамо. Это когда гл.вектор и гл.момент лежат на одной прямой.

Случай, когда сист.сил приводится к Динамо

LO¹0 R¹0, причем LO не^ R.

LO1=LOcosa;

LO2=LOsina; d=LO2/R

Уравнение динамической оси.

LО1x/Rx= LО1y/Ry= LО1z/Rz-ур-е прямой в простанств.сист.координат

LО1= LО +[O1O ´R]

LО1= LО +[OO1 ´R’]

[LОx+(y Rz -z Rx]/ Rx=[LОy+(z Rx -x Rz]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz –уравнение динамической линии(ур-е прямой на которой выполняется динамо)

[LОx+(y Rz -z Ry]/ Rx=[LОy+(-x Rz +z Rx]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz

i  j k

x y z

Rx Ry Rz

[LОx -(y Rz’ -z Ry’]/ Rx=[LОy -(z Rx’ -x Rz’]/ Ry=[LОz -(x Ry’ -y Rx’]/ Rz

Равнодействующая 2-х параллельных сил,направл-х в одну сторону

R*=F1+F2

F1/F2 =а/в, F1´а= F2´в

МR*(F1)=- МR*(F2); LO-гл.момент

При пирведении сист.сил к какому-либо центру у нас появляется гл.вектор = сумме всех сил и гл.момент = сумме моментов всех сил отн-но того же центра. Поэтому равнодействующая 2-х параллельных сил, напр-х в одну сторону (лежит) и проходит между этими силами, по вел-не равна сумме этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части обратно пропорциональные силам.

Равнодействующая 2-х параллельныхсил, напр-х в разные стороны

F2> F1, R*= F2- F1, F1/F2 = а/в, F1/а= F2/в=(F2- F) /в-а, F1´в= F2´а, Мс (F2)= Мс(F1);

Равнод-я 2-х парал-х сил, напр-х в разные стороны, лежит за линией действия большей силы, равна по модулю разности двух этих сил и приложена в точке, которая делит растояние между этими силами на части, обратно пропорциональные силам внешним образом.

Очень важно, что силы не равны между собой.

Центр параллельных сил.

Т.С –центр парал-х сил.

R*=låFi,

На основании теоремы Вариньона запишем: момент равнодействующей относит.какого-либо центра равен сумме моментов всех сил относит.того же центра

Мо (R*)= åМо Fк,

[rc´R*]= å[rк ´Fк]

[rc´(åFi)l] - å[rк ´Fкl]=0

[(åFirc - åFkrk) ´l]=0

Т.к. вектор l отличен от 0, то из этого соотношения следует, поскольку вектор l выбирают произвольно, то rcåFк- åFkrk=0 Þ rc=(åFkrk)/ åFк формула нахождения центра тяжести.

Нахождение центров тяжести

rc=(åРkrk)/ åРк –ф-ла нах-я ц.т.

Р1=m1g; Pk=mkg; Pn=mng.

rc=(åmkrk)/ M–ф-ла нах-я ц.т.

M=åmk

xc=(åmkxk)/ M; yc=(åmkyk)/ M; zc=(åmkzk)/ M

Для сплошного однородного тела имеем след.ф-лу для нах-я центра масс.

xc=(òх dV)/V; yc=(òу dV)/V; zc=(òz dV)/V; V=òdV

Для тел, масса кот-х распределена по пов-ти небольшой толщины имеем след-е ф-лы:

xc=(òх ds)/S; yc=(òу ds)/S; zc=(òz ds)/S; S=òds

Для тел, масса кот-х распределена по длине (типа проволоки):

xc=(òх dl)/L; yc=(òу dl)/L; zc=(òz dl)/L; L=òdl


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: