Теоретическая механика. Теория

1. Сила. Система сил. Уравновешенная система сил. Равновесие твердого тела.

Сила -мера механического взаимодействия материальных тел, в результате которого взаимо­действующие тела могут сообщать друг другу ускорения или де­формироваться (изменять свою форму).

 Сила— обозначается векторной величиной. Она характеризуется чис­ленным значением, или модулем, точкой приложения и направлением. Точка приложения силы и ее направление определяют линию действия силы. На рисунке показано, как сила приложена к точке A. Отрезок AB= модулю силы F. Прямая LM называется линией действия силы. В сист. СИ сила изм. в ньютонах (Н)

В системе СИ сила изм. в ньютонах (Н)

Система сил - совокупность нескольких сил (F1, F2,...,Fn) называется системой сил.

 Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил (F1, F2,..., Fn) можно заменить другой си­стемой (Р1, P 2,..., Pn) и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными. Символически это обозначается следую­щим образом: (F 1, F 2,..., Fn)~ (Р1, P 2,..., Pn).

Уравновешенная система сил — Система сил, которая, будучи приложенной к свободному твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния.

Если абсо­лютно твердое тело остается в состоянии покоя при действии на него системы сил (F 1, F 2,..., Fn), то эта система называется уравно­вешенной, или системой сил, эквивалентной нулю: (F 1, F 2,..., Fn)~0. В этом случае говорят, что тело находится в равновесии.

 

2. Аксиомы статики и их следствия.

Тело под действием силы приобретает ускорение и не может находиться в покое. Первая аксиома ставит усло­вия, при выполнении которых система сил будет уравно­вешена.

 

Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

  Следствие: если абсолютно твердое тело находится в покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют по одной прямой в противоположные стороны две равные по модулю силы и тело в началь­ный момент находилось в покое, то состояние покоя тела сохранится.

На рис. 1.4 показаны уравновешенные силы F1, F2 и Р1, Р2, удовлетворяющие соотношениям: (F1,F2)~0, (P1,Р2)~0. При решении некоторых задач статики приходится рассматривать силы, приложенные к концам жестких стержней, весом которых можно пренебречь, причем известно, что стержни находятся в равно­весии. Из сформулированной аксиомы действующие на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей через концы стержня, противоположны по направле­нию и равны друг другу по модулю (рис. 1.5, а). То же самое и в случае, когда ось стержня криволи­нейная (рис. 1.5, б).

 

Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему, в частности, если эта система состоит из двух сил, равных по модулю, дей­ствующих по одной прямой и направленных в противополож­ные стороны.

С ледствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия.

 Действительно, пусть сила FА приложена к точке А (рис. 1.6, а). Приложим в точке В на линии действия силы FA две уравновешен­ные силы FB и F'B, полагая, что FB=FA (рис. 1.6, б). Тогда со­гласно аксиоме 2 будем иметь FA~FA, FB, F`B). Так как силы FА и FBобра зуют также уравновешенную систему сил (аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.6,в). Таким образом, FA~FA,FB,F`B)~FB, или FA~FB, что доказывает следствие. Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор. Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия меняет напряженно-деформированное со­стояние тела.

 

 

Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно за­менить одной равнодействующей силой, приложен­ной в той же точке и равной их геометрической сумме (аксиома параллелограмма сил).

Эта аксиома устанавливает два обстоятельства: 1) две силы F1 и F2 (рис. 1.7), приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е. эквивалентны одной силе (F1,F2)~R; 2) аксиома полностью определяет модуль, точку приложения и направление равнодействующей силы R=F1+F2.(1.5)

Другими словами, равнодействующую R можно построить как диа­гональ параллелограмма со сторонами, сов­падающими с F1 и F2. Модуль равнодействующей определится равенством R=(F12+F22+2FlF2cosa)1/2, где а—угол между данными векторами F1 и F2.

Третья аксиома применима к любым телам. Вторая и третья аксиомы статики дают возможность переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной. В частно­сти, они позволяют разложить любую силу R на две, три и т. д. составляющие, т. е. перейти к другой системе сил, для которой сила R является равнодействующей. Задавая, например, два на­правления, которые лежат с R в одной плоскости, можно построить параллелограмм, у которого диагональ изображает силу R. Тогда силы, направленные по сторонам параллелограмма, составят систему, для которой сила R будет равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения силы R провести три прямые, не лежащие в одной плоскости, и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей силу R, и с ребрами, направленными по этим прямым (рис. 1.8).

 

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противополож­ные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют систе­му уравновешенных сил, так как они приложены к разным телам. Если тело I действует на тело II с силой Р, а тело II действует на тело I с силой F (рис. 1.9), то эти силы равны по модулю (F = Р) и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е. F= –Р. Если обозначить че­рез F силу, с которой Солн­це притягивает Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю, но противоположно направленной силой – F. При движении тела по плоскости к нему будет приложена сила трения Т, направленная в сторону, противоположную движению. Это– сила, с которой неподвижная плоскость действует на тело. На основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с та­кой же силой, но ее направление бу­дет противоположно силе Т.