Расчет плоских ферм. Метод выделения узлов и метод сечений

Метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов уже использовался нами при статическом анализе геометрической неизменяемости фермы. Он заключается в мысленном вырезании узла фермы с заменой действия на него стержней соответствующими внутренними усилиями. Эти усилия связаны между собой и приложенной к стержню внешней нагрузкой (или опорными реакциями) посредством статических уравнений равновесия. Для любого узла можно составить два таких уравнения - равенства нулю суммы проекций всех сил, например, на вертикальную и горизонтальную оси Σ X =0 и Σ Y =0. Очевидно, если в узле сходятся два стержня, то из этих уравнений могут быть найдены усилия в обоих из них. Если узел соединяет три стержня, но усилие в одном из них уже найдено из рассмотрения равновесия другого узла или использованием способа сечений, то из этих двух уравнений могут быть найдены усилия в двух оставшихся стержнях. После этого можно вырезать следующий узел и продолжить расчет.

В методе вырезания узлов необходимо установить порядок вырезания узлов. Например, для расчета фермы (рис. 8.1, а) сначала вырежем узел A (рис. 8.1, б) и запишем уравнения равновесия:

Σ X = N_A_-10+N_A_-1 ∙ cos𝛼=0;

Σ Y = N_A_-1 ∙ sinα + 1,5 P =0.

Из них: N_A_-1= – 1,5 P/ sinα; N_A_-10= 1,5 P/ tgα.

Рис. 8.1

Теперь вырежем узел 10 (рис. 8.1, в) и запишем условия равновесия

Σ X = N_9-10–N_A-10= 0;

Σ Y = N_1-10= 0.

Из них получаем: N_9-10=N_A-10= 1,5 P/ tgα; N_1-10= 0.

После этого можно вырезать узлы 1, 9, 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5.

У метода вырезания узлов есть недостаток: ошибка (неточность), допущенная при расчете одного узла, влияет на последующие вычисления. Поэтому результаты, полученные этим методом, надо контролировать. Например, результаты расчета фермы могут быть проверены по формуле

Σ N_il_i = Σ P_x∙x +Σ P_y∙y,

где N _i – усилия в стержнях, l _i – длины стержней, P _x и P _y – проекции нагрузок (включая и опорные реакции), x и y – координаты нагрузок.

Из метода вырезания узлов вытекают несколько признаков (частных случаев), упрощающих расчет ферм:

1) если в узле сходятся два стержня и внешняя нагрузка не приложена (рис. 8.2, а), то оба усилия равны нулю: N₁ = N₂ =0;

2) если в узле сходятся два стержня, а внешняя нагрузка действует в направлении одного стержня (рис. 8.2, б), то N₁ = P, N₂ =0;

3) если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 8.2, в), то усилия в двух стержнях равны: N₁ = N₂, а усилие в боковом стержне равно нулю: N₃ =0;

4) если в четырехстержневом узле стержни попарно лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 8.2, г), то усилия также попарно равны между собой: N₁ = N₂, N₃ = N₄.