§1. Почему в кинематике вводят только первую и вторую производные от радиус-вектора:
первую – скорость и вторую – ускорение?
А если ввести некую w
v(t) ,
dt
a(t) .
dt
da(t)?
dt
Ввести такую производную можно, но для решения основной задачи меха- ники это не нужно. Основная задача механики – предсказать положения тел в
любой момент времени, т.е. предсказать вид функции
ri t
для всех изучаемых
тел. Однако в природе не существует фундаментального закона, что-либо ут- верждающего непосредственно о радиус-векторе материальной точки.
Закон обнаруживается на более глубоком уровне – на уровне второй про- изводной от радиус-вектора:
r (t)
– нет закона;
r (t)
|
v – нет закона;
|
, см. (4.4).
Двигаясь по этой цепочке «обратным ходом», мы можем, получив из зако-
на природы (второй закон Ньютона) ускорение
a, найти сначала
v(t)
(t),
|
r (t)
(см. §2, 3 лекции 3). Поэтому обычно нет необходимости диффе-
|
|
ренцировать r больше, чем два раза.
§2. Законы Ньютона
Основы классической динамики составляют три закона, сформулирован- ные И. Ньютоном в 1687 году. Это фундаментальные законы, они ниоткуда не выводятся и получены на основе осмысливания и обобщения многочисленных опытных данных. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.
Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона
Инерциальная система отсчета – это система отсчета, в которой тела, не подверженные воздействию других тел, движутся прямолинейно и равномерно или покоятся.
Для описания многих механических движений в земных условиях инерци- альную систему отсчета связывают с Землей. Но так как при этом пренебрегают вращательным движением Земли вокруг собственной оси и движением Земли вокруг Солнца, эта система отсчета не является строго инерциальной. Более строго первый закон Ньютона выполняется в системе отсчета, начало коорди- нат которой совмещено с центром Солнца, а координатные оси проведены на какие-либо определенные звезды, которые принимают за неподвижные.
Первый закон Ньютона
Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолиней- ного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изме- нить это состояние.
Сила. Масса. Импульс
Сила F – векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело других тел.
Величину силы можно определить опытным путем, используя прибор для измерения силы – динамометр.
Сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения.
|
|
Масса тела, m, – скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Инертность – неподатливость действию силы, свойство тела сохранять величи- ну и направление своей скорости, невозможность ее мгновенного изменения.
Импульс материальной точки – это вектор, равный, в механике Ньютона, произведению массы материальной точки на ее скорость:
(4.1)
v
m
Рис. 4.1
В релятивистской механике, т.е. при v с это определение импульса не справедливо. Импульс в этом случае (в теории относительности, см. лекцию
№ 12):
mv
, (4.2)
p
1 v2 c2
здесь с = 3 108 м/с – скорость света в вакууме.
Второй закон Ньютона
Скорость изменения импульса (т.е. производная импульса по времени) равна действующей на материальную точку равнодействующей силе:
, (4.3)
|
|
где F Fi
i 1
Так как p mv (см. рис. 4.1), то из (4.3) следует, что:
d(mv) dt
F. (4.3а)
При постоянной массе, т.е. m const, ее можно вынести за знак произ- водной:
m F,
используя (2.7) и (2.8)),
dt
|
a ,
dt
мы получаем еще две формулы, выражающие второй закон Ньютона.
или
(4.4)
. (4.5)
Подчеркнем, что формулы (4.4) и (4.5) справедливы только при постоян- ной массе тела.
Как было показано в §3 предыдущей лекции, для решения основной за-
дачи механики при произвольном движении материальной точки в пространст-
ве необходимо знать зависимость вектора ускорения от времени –
a(t)
– и на-
чальные условия:
v0 и
r0. Второй закон Ньютона в форме (4.4) позволяет най-
ти ускорение в данный момент времени, если известна равнодействующая сила
F. Таким образом, решение основной задачи механики для материальной точки
полностьюопределяется действующими на эту точку силами и начальными ус-
ловиями: v0 и r0. Для системы материальных точек необходимо задать на-
чальные условия для каждой точки:
v0i
и r0i
– и силы взаимодействия между
материальными точками рассматриваемой системы.
А как определить действующие на материальную точку силы? Это можно
сделать, если из опыта известна
r(t)
– зависимость положения материальной
точки от времени. В этом случае, решая обратную задачу механики, можно ус- тановить действующие на материальную точку силы.
Кое-что о силах говорит третий закон Ньютона. Более конкретные сведе- ния о силах, полученные на основании опытных данных, приведены в §3 на- стоящей лекции.
Система СИ (System International)
В этой системе семь основных единиц, для них существуют эталоны. Это единицы:
длины – метр (м); массы – килограмм (кг); времени – секунда (с);
силы электрического тока – ампер (А); температуры – кельвин (К);
силы света – кандела (кд); количества вещества – моль (моль).
Все остальные единицы являются производными, их размерности опреде- ляются из формул, связывающих производные величины с основными.
В механике используются единицы измерения: метр, килограмм, секунда. Отметим, что с точки зрения логики, эти три единицы являются достаточ-
ными для введения производных от них величин не только в механике, но и во всей физике. Для практических же целей в качестве основных единиц выбира- ют такие эталоны, которые можно воспроизвести с наибольшей точностью.
Размерность силы
F m a кг м Н.
с2
1 ньютон (1Н) – это сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с.
Третий закон Ньютона
Силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и проти- воположны по направлению. Пример – взаимодействие двух электрических за- рядов, изображенных на рис. 4.2.
|
|
F 12 F 21
Рис. 4.2
Обратим внимание, что силы, о которых говорится в третьем законе Нью- тона, приложены к разным телам (рис. 4.2) и являются силами одной природы.
Из третьего закона Ньютона следует, что для каждой силы можно указать тело, являющееся причиной этой силы. Если же указать такое тело – причину возникшей силы – не удается, то тогда причина «силы» – неинерциальность системы отсчета. Напомним, что законы Ньютона справедливы только в инер- циальных системах отсчета.
§3. Силы в природе
Все изучаемое физикой многообразие взаимодействий тел сводится к че- тырем видам:
1) гравитационному – описываемому законом всемирного тяготения;
2) электромагнитному – взаимодействию заряженных тел и частиц;
3) сильному (ядерному) – обеспечивающему связь частиц в атомном ядре;
4) слабому – ответственному за многие процессы распада элементарных час-
тиц.
В рамках классической механики имеют дело с гравитационными
и электромагнитными силами, которые являются фундаментальными, т.е. не- сводимыми к другим, более простым силам. Фундаментальные электромагнит- ные силы будут подробно изучены во второй части настоящего курса лекций.
В механике также приходится иметь дело с упругими силами и силами трения. Эти силы определяются электромагнитным взаимодействием между молекулами вещества, т.е. являются по своей природе электромагнитными. Следовательно, упругие силы и силы трения не являются фундаментальными. Законы действия этих сил описываются эмпирическими формулами, получен- ными на основе обобщения опытных данных.
Сила тяжести и вес
Исааком Ньютоном был сформулирован фундаментальный закон всемир- ного тяготения: силы, с которыми две материальные точки притягиваются друг к другу, пропорциональны их массам и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:
где F – сила;
F G m1m2 , (4.6)
r2
m1 и m2 – массы материальных точек;
|
|
r – расстояние между ними,
G = 6,67 × 10 11 м 3 /кг с 2 – гравитационная постоянная.
Закон всемирного тяготения в форме (4.6) справедлив и для тел конечных размеров, при условии, что массы их распределены сферически симметрично.
При этом под r в формуле (4.6) уже следует понимать расстояние между цен- трами масс тел. Например, для определения по формуле (4.6) гравитационного взаимодействия Земли с телами, находящимися на ее поверхности, на место r надо поставить радиус Земли R3.
Гравитационное взаимодействие осуществляется через гравитационное поле. В результате существования такого поля вокруг Земли на все тела, нахо-
дящиеся в этом поле, действует сила притяжения к Земле – сила тяжести P.
Эта сила направлена к центру Земли. Точка приложения вектора равнодейст- вующей силы тяжести называется центром тяжести тела.
Величину силы тяжести Р для тела массы m найдем, подставив в (4.6)
r = R3, m1 = m, m2 = M3. В результате получим:
P
где M3 и R3 – масса и радиус Земли.
mM з
|
|
з
Так как Mз
|
5,98
м
1024 кг, R
6,37
106 м, то
|
|
|
|
з с
– ускорение свободного падения.
Тогда сила тяжести равна:
(4.7)
Вес тела – это сила, с которой тело действует на подвес или опору вследст- вие гравитационного притяжения к Земле. Вес тела зависит от характера его движения. Если подвес или опора покоятся относительно Земли, то вес и сила тяжести равны друг другу. Если же точка крепления подвеса или опора движет- ся с ускорением, вес перестает быть равным силе тяжести.
Силы упругости
Упругие силы возникают в деформированном теле. Они уравновешивают внешние силы, вызвавшие деформацию.
Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при дефор- мации тела величина деформации х пропорциональна величине деформирую- щей силы F.
x ,
k упр
где kупр – коэффициент упругости (жесткости) тела, зависящий от свойств мате- риала, размеров и формы тела и вида деформации.
Следовательно, по третьему закону Ньютона, Fупр = -F, и для силы упруго- сти имеем:
Fупр
k упр x. (4.8)
Следовательно, сила упругости направлена в сторону, противоположную абсолютной деформации х, и приложена к телам, вызывающим деформацию.
Силы трения
Силы трения возникают при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга.
Трение подразделяется на внешнее и внутреннее. Внутреннее трение в жидкостях и газах называется вязкостью. Внешнее трение возникает при отно- сительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел. Опытным путем установлено, что максимальная сила трения покоя не зависит от площади со- прикасающихся тел и приблизительно пропорциональна модулю силы нор- мального давления, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:
Fтр Fn , (4.9)
где – безразмерный множитель, называемый коэффициентом трения покоя. (он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей);
Fn – сила нормального давления (она направлена перпендикулярно тру-
щимся поверхностям).
В первом приближении можно считать силу внешнего трения не завися- щей от скорости движения (рис. 4.3)
Рис. 4.3 Рис. 4.4
Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную скорости v
(рис. 4.3).
При движении твердого тела в жидкости или газе, а также при взаимном перемещении слоев жидкости или газа, возникает вязкое трение. График зави- симости силы вязкого трения от скорости представлен на рис. 4.4.
Для вязкого трения характерно отсутствие трения покоя. Для относитель- но малых скоростей:
для больших скоростей:
Fтр
1 v, (4.10)
Fтр
v2. (4.11)
|
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 4
1. Законы классической механики – три закона Ньютона – выполняются только в инерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета тела, не подверженные воздействию других тел, движутся прямолинейно и рав- номерно.
2. Основной закон динамики материальной точки – второй закон Ньютона
(4.3):
d
|
dt
где F
ку;
p
– векторная сумма всех сил, действующих на материальную точ-
mv (см. рис. 4.1) – импульс материальной точки.
3. При постоянной массе тела второй закон Ньютона можно записать в ви-
де (4.4) или (4.5):
ma F
или
m d r
|
|
4. Силы в природе делятся на фундаментальные и нефундаментальные. Нефундаментальные силы сводятся к фундаментальным.
5. В классической механике имеют дело с двумя фундаментальными сила- ми: гравитационными и электромагнитными – и двумя нефундаментальными: силой упругости и силой трения.
6. Гравитационное взаимодействие двух материальных точек описывается законом всемирного тяготения (4.6):
F G m1m2 .
r 2
7. Сила тяжести Р – это сила гравитационного притяжения тела к Земле. На поверхности Земли сила тяжести (4.7):
P .
8. Сила упругости возникает при деформации тела и описывается законом Гука (4.8):
здесь x – величина деформации;
Fупр
k упрx,
k упр
– коэффициент упругости.
9. Сила внешнего трения возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел и определяется формулой (4.9):
Fтр μFn ,
где – коэффициент трения,
Fn – сила нормального давления.
10. Сила вязкого трения возникает при движении тел в жидкостях и газах. Для малых скоростей (4.10):
Fтр
1v.
Для больших скоростей (4.11):
Fтр
v2.
11.
|
ЛЕКЦИЯ № 5