Определения необходимых терминов

В предыдущих лекциях мы выяснили, что основная задача механики, в принципе, может быть решена на основе законов Ньютона, если известны на- чальное состояние рассматриваемой системы и силы взаимодействия между те- лами (материальными точками) этой системы. Точнее – можно на основе II и III законов Ньютона записать систему дифференциальных уравнений, описываю- щих движение всех материальных точек нашей системы. Получить же зависи-

мости положений материальных точек от времени

r(t)

обычно, за исключени-

ем очень простых случаев, можно, только применяя вычислительную технику. Но, повторим, в принципе, основная задача механики решается на основе зако- нов Ньютона.

Однако, оказывается, что из законов Ньютона можно еще получить и зако- ны сохранения. В механике известны три закона сохранения: закон сохранения импульса (его мы рассмотрим в этой лекции), закон сохранения полной меха- нической энергии (лекция 6) и закон сохранения момента импульса (лекция 9). Какова же роль этих законов в механике? Разумеется, если мы в состоянии ре- шить основную задачу механики для нашей системы, то законы сохранения не дадут нам никакой дополнительной информации об этой системе. Но, тем не менее, законы сохранения являются мощным средством решения физических задач. Дело в том, что законы сохранения не зависят от вида траектории и ха- рактера действующих сил. Они могут быть использованы даже в тех случаях, когда силы неизвестны. В ряде задач, когда не требуется знать траектории тел, а необходимо лишь связать начальное состояние системы с конечным, приме- нение законов сохранения кратчайшим путем приводит нас к цели.

Оказывается, что законы сохранения импульса, энергии и момента им- пульса обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона. Эти три закона сохранения связаны с общими свойствами пространства и времени. В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость его свойств во всех точках. Закон сохранения энергии вытекает из однородности времени, т.е. равнозначности всех моментов времени и неза- висимости законов природы от времени. Закон сохранения момента импульса является следствием изотропности пространства, т.е. одинаковости его свойств по всем направлениям.

Теперь сформулируем определения терминов, необходимых при рассмот- рении законов сохранения.

 

 

Механическая система - это совокупность тел, выделенных нами для рассмотрения.

Внутренние и внешние силы

Внутренние силы – это силы, с ко- торыми взаимодействуют тела системы между собой.

Внешние силы действуют со сторо-

Внеш-

 

 

ны тел, не входящих в систему. На рис. 5.1 выделенная механическая сис- тема обведена пунктирной линией. Вне системы находится одно внешнее тело. На тела выделенной системы действуют

Рис. 5.1                         как внутренние

F12, F13, F21, F23, F31, F32,

так и внешние силы

F1, F2, F3 .

 

Замкнутая система

Замкнутая система – это система, на которую внешние силы не действуют.

 

 

Рис. 5.2

 

На рис. 5.2 изображена замкнутая система, между телами которой дейст- вуют только внутренние силы.

Импульс системы материальных точек - это векторная сумма импуль- сов всех материальных точек, входящих в систему:

.                             (5.1)

 

Рис. 5.3 иллюстрирует формулу (5.1), являющуюся определением импуль- са системы материальных точек.



p1 m₁v₁

 

m₁

m3   m₂ v₂

 

 



p2  m₂ v₂

 

 

 ³ 

p   pi

i 1



m1v1



m2 v2



m3v3

Рис. 5.3

Взаимодействие материальных точек системы приводит к изменению им- пульсов каждой из них. Но при определенных условиях импульс системы мате- риальных точек не изменяется с течением времени, сохраняется.

 

 

§2. Закон сохранения импульса

Выясним те условия, при которых полный импульс системы материаль- ных точек сохраняется. Для этого запишем второй закон Ньютона (4.3) для каждого из тел рассматриваемой системы (см. рис. 5.1):

dp1 dt



dp2

dt 2



dp3



F12



F21





F13



F23





F1 ,



F2 ,



dt 3

F31

F32

F3.

 

Сложим эти уравнения, при этом учтем третий закон Ньютона, согласно

которому

F12

F21, F13

F31, F23

F32. В результате слева получим произ-

водную по времени от полного импульса нашей системы, а справа – векторную сумму всех внешних сил, действующих на нашу систему материальных точек:

d   

dt  p1  p2   p3

 

F1                  F2



F3  .                        (5.2)

Как известно из математики, необходимым и достаточным условием по- стоянства во времени некоторой величины является равенство нулю ее произ- водной по времени.

Из полученного выше равенства (5.2) следует, что для этого сумма внеш- них сил должна быть тождественно равна нулю, т.е.:

 

F1               F2      F3      0.

 

Теперь мы можем сформулировать закон сохранения импульса: если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему материальных точек, равна нулю, то полный импульс такой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Рассмотренная нами система состояла из трех материальных точек. Понят- но, аналогичные результаты получатся для системы из N материальных точек.

Сумма внешних сил может быть равна нулю в двух случаях. В первом слу- чае, когда внешние силы отсутствуют. Такая система называется замкнутой (см. рис. 5.2). Значит, импульс замкнутой системы сохраняется.

Во втором случае внешние силы могут присутствовать, но в сумме да- вать ноль, их действие на систему будет скомпенсированным. В этом случае импульс системы тоже сохраняется.



Импульс системы p

– величина векторная. Если импульс сохраня-

 

ется, не изменяется с течением времени, то должны быть постоянны все три его

компоненты, т.е.: если p

Но

const, то px

const, py const, pz

 

N

const.

px const ,

если  Fxi 0,

i 1

py const ,

если

N

Fyi 0,

i 1

pz const ,

если

N

Fzi 0.

i 1

 

Отсюда следует, что возможны ситуации, когда полный импульс системы не сохраняется, но при этом могут сохраняться отдельные его компоненты.

 

Например, если

N

N

Fхi

i 1

N

0 то p_x = const, при этом возможно, что

Fуi

i 1

0 и p_y const;

Fzi

i 1

0 и p_y const.

 

 

§3. Работа и мощность. Работа постоянной силы

Работой силы называют меру действия силы, зависящую от ее модуля и направления и от перемещения точки приложения силы.

Работа постоянной силы F по определению равна скалярному произведе-

нию силы на перемещение

s12. Это определение работы проиллюстрировано

на рис. 5.4 и записано в виде формулы (5.3).

F

 

 

1                                   2

s12

Рис. 5.4

A12

Fs12

 

сos



Fs12.                            (5.3)

 

Из формулы (5.3) следует, что в зависимости от направления силы работа может быть положительной (если cos > 0), отрицательной (если cos < 0) и равной нулю (если cos = 0 при = 90). Физический смысл понятия «рабо- та» в механике Ньютона выясняется при введении понятий кинетической и по- тенциальной энергии материальной точки.

 

Элементарная работа

В случае, если сила не является постоянной, формулу (5.3) можно исполь- зовать для нахождения элементарной работы, совершаемой при бесконечно ма-

лом перемещении

ds, так как при этом силу можно считать постоянной. Рис.

5.5 иллюстрирует формулу (5.4) для элементарной работы dA. Величина FS -

Fs              FCos

проекция силы F на направление перемещения ds

Рис. 5.5

(рис. 5.5).

 

 

.                     (5.4)

 

 

Работа переменной силы

Допустим, мы хотим найти работу, совершаемую гравитационной силой Земли над еѐ искусственным спутником, который движется по эллиптической орбите (рис. 5.6). В этом случае переменными являются и модуль силы F, и угол, задающий еѐ направление относительно бесконечно малого переме-

щения

ds. Разобьем интересующий нас отрезок траектории от точки 1 до точ-

ки 2 на бесконечно малые участки длиной ds. Элементарную работу dA на каж-

дом таком участке можно найти по фор- муле (5.4). Полная работа равна сумме бесконечного числа бесконечно малых элементарных работ dA. Как мы уже зна- ем, такая сумма называется определенным интегралом.

Таким образом, работа переменной силы находится как определенный инте- грал от элементарной работы (5.3).

 

2   2

A12         Fds  Fs ds.    (5.5)

1                1

Рис. 5.6

Единица измерения работы – джоуль:

 

A  F s Н м джоуль, Дж.

Мощность N - это скорость совершения работы, т.е. отношение работы dA к промежутку времени dt, за который она совершена:

 

.                                       (5.6)

 

Используя (4.3) и (2.1), получим:



N                   

F v,                                                  (5.6а)

 

здесь v – скорость материальной точки, к которой приложена сила F.

Единица мощности

[N]

[A]

[t]

Дж ватт, Вт. с

 

ds vdt

 

m

1

§4. Кинетическая энергия

Теперь выясним, как изменяется v состояние движения материальной точ- ки при совершении над ней работы. Для

этого мы используем совместно опреде- ления работы (5.4), (5.5) и второй закон

2 Ньютона.

F

Применим второй закон Ньютона (см. (4.4) и (2.7)) для материальной точ- ки m, движущейся под действием рав-

Рис. 5.7                      нодействующей силы F (рис. 5.7):

 

Помножим (5.7) скалярно: слева на vdt, справа на ds

(5.7)

 

 

В результате получим:

    

vdt m v

 

 

 

F  ds.

 

 

mv v dt

Преобразуем левую часть:

      

Fds.

 



mv v dt

m v dv

 

 

в правой части, в соответствии с (5.4), запишем dA. В результате этих преобра- зований получим:

 

(5.8)

 

Половина произведения массы частицы материальной точки на квадрат ее скорости названа ее кинетической энергией:

.                                  (5.9)

Таким образом, элементарная работа, совершаемая над телом, равна эле- ментарному приращению его кинетической энергии. При интегрировании фор- мулы (5.8) вдоль траектории частицы, от точки 1 до точки 2 (рис. 5.7), мы полу- чим:

2 mv ²  2   

d

1    2   1

Fds,

 

где слева стоит интеграл от дифференциала, справа – тегрирования имеем:

A12

(см. (5.5)). После ин-

mv

mv

2            2

    2       1

2    2

A12.                             (5.10)

 

Используя обозначение (5.9) для кинетической энергии, формулу (5.10) можно записать так:

 

                       .                             (5.11)

Применив второй закон Ньютона и определение работы, мы получили, что работа равнодействующей силы идет на приращение кинетической энергии материальной точки (5.10).

Это утверждение носит название теоремы о кинетической энергии.

ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 5

1. Импульс системы материальных точек – это векторная сумма импульсов всех материальных точек, входящих в систему (5.1):

 

2. Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние силы.

3. Импульс системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени, если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. В частности, сохраняется импульс замкнутой системы.

4. Работа постоянной силы равна скалярному произведению векторов силы

и перемещения (5.3):

 

A12

 

Fs12 cos



Fs12.

 

5. Работа переменной силы (5.5) находится как определенный интеграл от элементарной работы (5.4):

2  

A12

Fds.

1

 

 

6. Мощность – это скорость совершения работы (5.5):

 

 

7. Кинетической энергией

N dA.

dt

Wк  (5.9) называют половину произведения

массы частицы m на квадрат ее скорости:

 

Wк                             .

 

8. Теорема о кинетической энергии ((5.10) и (5.11)) утверждает, что работа равнодействующей силы идет на приращение кинетической энергии (5.9):

 

A12

2   mv 2

mv

     2       1  .

2     2

ЛЕКЦИЯ № 6