Прогнозирование но основе моделей временных рядов. Понятие об авторегрессионных моделях и моделях скользящей средней

Одна из важнейших задач анализа временного (динамического) ряда состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период. Задача ставится следующим образом: имеется временной (динамический) ряд  и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент .

При этом используется точечный и интервальный прогноз значений зависимой переменной Y, т. е. определение точечных и интервальных оценок Y, полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных X, расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X,

Если рассматривать временной рад как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Однако, одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения  представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. При работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным.

При предположении, что возмущения  удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, т. е. условиям нормальной классической регрессионной модели, прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных радов может оказаться эффективным, как правило, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, среднесрочного периода прогнозирования.

Для данного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель, для которой ряд возмущений  будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа. До сих пор мы рассматривали модели, в которых в качестве регрессора выступала переменная t – «время». В эконометрике достаточно широкое распространение получили и другие регрессионные модели, в которых регрессорами выступают лаговые переменные, т. е. переменные, влияние которых в эконометрической модели характеризуется некоторым запаздыванием. Еще одним отличием таких регрессионных моделей является случайность представленных в них объясняющих переменных.

В качестве примера рассмотрим авторегрессионную модель р -го порядка (или модель AR(p)), которая имеет следующий общий вид:

,

где  – некоторые константы.

Она описывает изучаемый процесс в момент t в зависимости от его значений в предыдущие моменты .

Если исследуемый процесс  в момент t определяется его значениями только в предшествующий период , то авторегрессионная модель 1-го порядка (или модель AR(1)) представляет собой марковский случайный процесс, определяемый следующим соотношением:

.

Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней, в которой моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (ошибок) в предыдущие моменты времени.

Модель скользящей средней q -го порядка (или модель МА(q)) записывается в следующем виде:

.

В эконометрике используются также комбинированные модели временных рядов AR и МА.

Авторегресссионная модель скользящей средней порядков р соответственно (или модель ARMA(р, q)) имеет следующий вид:

.

В заключение отметим, что использование соответствующих авторегрессионных моделей для прогнозирования экономических показателей, т. е. автопрогноз на базе рассмотренных моделей, может оказаться весьма эффективным (как правило, в краткосрочной перспективе).

Литература

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для студентов вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 311 с. Гл. 6. 6.4, 6.5, упражнения к главе 6.

2. Тимофеев В.С., Фаддеенков А.В., Щеколдин В.Ю. Эконометрика. – М.: Юрайт, 2015. – 328 с. bibleo-online.ru Раздел 7.4, контрольные вопросы и задания к гл. 7.

Задание:

1. Повторить временные ряды и их аналитическое выравнивание.

2. Выполнить рейтинговые контрольные работы №1 и №2.

Лекция и практика 2.