Метод простой итерации

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением:

                                                                   (3)

Пусть t – корень уравнения (3), а x₀ – полученное каким – либо способом нулевое приближение к корню t. Подставляя x₀ в правую часть уравнения (3), получим некоторое число . Проделаем то же самое с x₁, получим  и т.д. Применяя соотношение  для n = 1, 2, …, образуем числовую последовательность

,                                                           (4)

которую называют последовательностью приближений или итерационной последовательностью (от лат. Iteratio - повторение).

Процесс построения итерационной последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию.

Последовательность приближений может быть как сходящейся, так и расходящейся. Достаточные условия сходимости итерационного процесса приведены в следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Пусть уравнение  имеет единственный корень на отрезке [a, b] и выполнены следующие условия:

1) f(x) определена и дифференцируема на [a, b];

2)  для всех ;

3) существует такое вещественное число q, что  для всех .

Тогда итерационная последовательность  (n = 1, 2, …) сходится при любом начальном приближении .

На практике построение итерационной последовательности не может продолжаться бесконечно. Приходится прерывать процесс, допуская при этом погрешность метода.

Для оценки погрешности n – го приближения используем формулу:

                                                                                    (5)

На практике удобнее использовать модификацию формулы (5). Примем за нулевое приближение x_n-1 (вместо x₀). Следующим приближением будет x_n. Учитывая, что  будет , получим:

                                                                                  (6)

Из оценки (6) можно получить важный практический вывод. Пусть уравнение  решается методом итераций, причем результат должен быть получен с точностью ε. Тогда критерием прекращения вычислений будет условие . Учитывая оценку (6), получим , откуда получим:

                                                 (7)

Из неравенства (7) следует, что для нахождения корня уравнения  методом итераций с точностью ε нужно продолжить итерации до тех пор, пока модуль разности между последними соседними приближениями останется больше числа . В оценочных формулах (5), (6), (7) используется вещественное число q, получаемое в процессе установления условия 3) теоремы 1.