Список теоретических вопросов по теме № 2

1. Понятие функции многих переменных. Примеры. График функции 2-х переменных. Линии уровня (кривые безразличия). Предел функции 2-х переменных в точке. Непрерывность функции 2-х переменных в точке.
2. Частные и полные приращения функции  в точке. Частные производные функции  в точке, их геометрический смысл. Примеры.
3. Дифференцируемость функции  в точке и ее связь с непрерывностью. Примеры.
4. Полное приращение и полный дифференциал функции  в точке, их геометрические смыслы. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры.
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной как явно, так и неявно. Примеры.
6. Частные производные высших порядков функции . Теорема о смешанных производных одного порядка. Примеры.
7. Градиент функции многих переменных. Свойства градиента. Примеры.
8. Производная по направлению. Способы её вычисления. Связь производной по направлению с градиентом. Примеры.
9. Экстремумы функции . Необходимые условия существования экстремума дифференцируемой функции. Примеры.
10. Экстремумы функции . Достаточные условия существования экстремума дифференцируемой функции. Примеры.

Практика по теме «Функции одной переменной: пределы, непрерывность» (примерные задачи):

1. Исследовать функцию на непрерывность. Указать точки разрыва и их род, если они имеются: .
2. Исследовать функцию на непрерывность. Указать точки разрыва и их род, если они имеются: .
3. Используя только график функции указать её точки разрыва и определить их род .
4. Вычислить предел  .
5. Вычислить предел .
6. Вычислить предел .
7. Найти вертикальные асимптоты графика функции .
8. Найти наклонные асимптоты графика функции .
9. Найти односторонние пределы функции  в точке  и выяснить характер разрыва в этой точке.
10. Найти односторонние пределы функции  в точке  и выяснить характер разрыва в этой точке.

Практика по теме «Дифференцирование функции одной переменной» (примерные задачи):

1. Найти дифференциал функции  в точке , если .
2. Найти уравнение касательной к графику функции  в точке .
3. Составить уравнение нормали к графику функции  в точке .
4. Найти точки экстремума функции .
5. Найти точки перегиба графика функции .
6. Найти , если функция  задана параметрически  .
7. Вычислить приближенно значение числового выражения .
8. Построить схематично график функции  в окрестности точки М(1;-2), если известно что , .
9. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [-1;1].
10. Какой эскиз соответствует поведению функции y(x) в окрестности точки М, y’(M)=0, y’’(M)>0?

1)          2)                  3)                     4)                                            

     5)               6)                     7)                        8)

Практика по теме «Функции многих переменных» (примерные задачи):

1. Найти и построить семейство линий уровня функции  .
2. Найти производную функции  в точке  в направлении наибыстрейшего роста функции.
3. Найти производную функции  в точке  в направлении вектора .
4. Найти производную функции  в точке  в направлении, составляющим с осью Ох  угол в .
5. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением  в точке М(1;1;3).
6. Найти точки экстремума функции .
7. Найти  в точке , если , , .
8. Найти  в точке , если , , .
9. Найти , если , .
10. Составить уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением  в точке .
11. Найти , если , .
12. Найти , если , , , .